Poincaré-Abbildung eines getriebenen Duffing-OszillatorsDer Duffing-Oszillator , benannt nach Georg Duffing , ist ein nichtlinearer Oszillator . Er kann als Erweiterung des harmonischen Oszillators , dessen Potential das lineare hookesche Gesetz zu Grunde liegt, um eine kubische Rückstellkraft betrachtet werden.
Sein Verhalten wird durch folgende Differentialgleichung mit den zeitlichen Ableitungen von x beschrieben:
x
¨
+
δ
x
˙
+
α
x
+
β
x
3
=
γ
cos
(
ω
0
t
)
{\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega _{0}t)}
δ
{\displaystyle \delta }
γ
,
ω
0
{\displaystyle \gamma ,\omega _{0}}
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
Die Zustandsraumdarstellung des homogenen Duffing-Oszillators
x
¨
+
δ
x
˙
+
α
x
+
β
x
3
=
0
{\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=0}
[
x
˙
1
x
˙
2
]
=
[
x
2
−
δ
x
2
−
α
x
1
−
β
x
1
3
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\-\delta x_{2}-\alpha x_{1}-\beta x_{1}^{3}\\\end{bmatrix}}}
Für den stationären Fall gilt
[
0
0
]
=
[
x
2
−
δ
x
2
−
α
x
1
−
β
x
1
3
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\-\delta x_{2}-\alpha x_{1}-\beta x_{1}^{3}\\\end{bmatrix}}}
und damit
x
2
=
0
{\displaystyle x_{2}=0\,}
α
x
1
+
β
x
1
3
=
0
{\displaystyle \alpha x_{1}+\beta x_{1}^{3}=0}
Die Gleichung liefert für
x
1
{\displaystyle x_{1}\;}
x
1
0
=
0
,
x
1
1
,
2
=
±
−
α
β
{\displaystyle x_{1_{0}}=0,x_{1_{1,2}}=\pm {\sqrt {-{\frac {\alpha }{\beta }}}}}
Diese sind nur dann reell, wenn
α
β
<
0
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}<0}
Jacobi-Matrix des Systems
J
=
[
0
1
−
α
−
3
β
x
1
2
−
δ
]
{\displaystyle {\textbf {J}}={\begin{bmatrix}0&1\\-\alpha -3\beta x_{1}^{2}&-\delta \\\end{bmatrix}}}
hat für
x
1
0
{\displaystyle x_{1_{0}}\;}
Eigenwerte
λ
0
=
−
δ
±
δ
2
−
4
α
2
{\displaystyle \lambda _{0}={\frac {-\delta \pm {\sqrt {\delta ^{2}-4\alpha }}}{2}}}
und für
x
1
1
,
2
{\displaystyle x_{1_{1,2}}\;}
λ
1
=
−
δ
±
δ
2
+
8
α
2
{\displaystyle \lambda _{1}={\frac {-\delta \pm {\sqrt {\delta ^{2}+8\alpha }}}{2}}}
Die Bedingung
α
β
<
0
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}<0}
Fall 1:
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0\;}
β
<
0
{\displaystyle \beta <0\;}
λ
0
{\displaystyle \lambda _{0}\;}
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1}\;}
Fall 2:
α
<
0
{\displaystyle \alpha <0\;}
β
>
0
{\displaystyle \beta >0\;}
λ
0
{\displaystyle \lambda _{0}\;}
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1}\;}
Die Differenzialgleichung
x
¨
+
δ
x
˙
−
a
x
+
b
x
3
=
0
{\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}-ax+bx^{3}=0}
mit
δ
>
0
,
a
>
0
,
b
>
0
{\displaystyle \delta >0,a>0,b>0\;}
