Einsame Zahl

Unter einer einsamen Zahl (englisch solitary number) versteht man in dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie eine natürliche Zahl, welche keine andere natürliche Zahl als Bekannte hat. Dabei gelten zwei natürliche Zahlen als Bekannte oder als miteinander bekannt, wenn für beide die aus der Teilersumme der Zahl und der Zahl selbst gebildeten Quotienten identisch sind. Zu den einsamen Zahlen gehören unter anderem alle Primzahlen.

Definition

Eine natürliche Zahl $n_{0}$ heißt einsame Zahl (oder kurz: einsam) dann und nur dann, wenn gilt:

$\forall n\in {\mathbb {N} \setminus \{n_{0}\}}\;\colon \;{\frac {\sigma _{1}(n_{0})}{n_{0}}}\neq {\frac {\sigma _{1}(n)}{n}}.$

Es ist $\textstyle \sigma _{1}(n)=\sum _{d|n}d$ dabei die Teilersumme von $n$, also die Summe aller Teiler von $n$.

Beispiele und Anmerkungen

• Jede natürliche Zahl $n_{0}$, welche mit ihrer Teilersumme $\sigma _{1}(n_{0})$ außer der $1$ keinen Teiler gemeinsam hat, für die also Teilersumme $\sigma _{1}(n_{0})$ und die Zahl $n_{0}$ selbst teilerfremd sind, ist eine einsame Zahl. Daher gehören zu den einsamen Zahlen alle Primzahlen und sogar allgemein alle Primzahlpotenzen.
• Keine vollkommene Zahl $N$ ist einsam, da für sie stets ${\tfrac {\sigma _{1}(N)}{N}}=2$ gilt, weswegen alle vollkommenen Zahlen miteinander bekannt sind.
• Zu den natürlichen Zahlen, welche bewiesenermaßen einsam sind, ohne dass sie und ihre Teilersumme teilerfremd sind, gehören neben anderen die Zahlen $18,45,48,52$.
• Es existieren unterhalb $100$ mindestens $53$ einsame Zahlen.
• Der Nachweis, dass eine natürliche Zahl eine Bekannte besitzt und daher keine einsame Zahl sein kann, ist selbst für kleine natürliche Zahlen nicht selten außerordentlich aufwändig. So hat beispielsweise die Zahl $24$ als kleinste Bekannte die Zahl $91963648$.

Vermutungen

Es besteht die bislang unbewiesene Vermutung, dass die folgenden Zahlen einsam sind:

• $10,14,15$
• $20,22,26$
• $33,34,38$
• $44,46$
• $51,54,58$
• $62,68,69$
• $70,72,74,76$
• $82,86,87,88$
• $90,91,92,94,95,99$
• $104,105,106$

Ein weiteres offenes Problem ist die Frage, ob es unendliche Mengen gegenseitig bekannter Zahlen gibt. Ein möglicher Kandidat ist die Menge der vollkommenen Zahlen.

Literatur

• C. W. Anderson, Dean Hickerson, M. G. Greening: Problems and Solutions: Solutions of Advanced Problems: 6020. In: Amer. Math. Monthly. Band 84, 1977, S. 65–66, doi:10.2307/2318325, JSTOR:2318325 (MR1538261). 
• Jörg Neunhäuserer: Schöne Sätze der Mathematik. Ein Überblick mit kurzen Beweisen. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2015, ISBN 978-3-642-54689-1. 
• József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. II. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 2004, ISBN 1-4020-2546-7 (MR2119686). 

Weblink

• Wolfram MathWorld Solitary Number