Einsteinsche Mannigfaltigkeit

Die Einsteinsche Mannigfaltigkeit oder Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt.

Definition

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante $\lambda$ existiert, so dass

$\operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda \,g_{p}(X,Y)$

gilt. Dabei ist $\operatorname {Ric} _{p}$ der (0,2)-Ricci-Tensor und $X,Y\in T_{p}M$ für jedes $p\in M.$ Die pseudo-riemannsche Metrik $g$ heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.

Eigenschaften

• Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen $n\geq 4$ von eigenständigem Interesse, da sie für $n=2$ und $n=3$ mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.

• Sei $n\geq 3.$ Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann, wenn für jedes $p\in M$ eine Konstante $\lambda _{p}$ (in Abhängigkeit von $p\,$) existiert, so dass

$\operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda _{p}\,g_{p}(X,Y)$

gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier $\lambda _{p}$ vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.

• Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante $\lambda$ haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante $\lambda$.

• Die Definition der Einsteinmetrik $g$ ergibt sich aus der Aussage, dass $g$ eine Lösung der Lambdavakuumgleichungen

$\operatorname {Ric} _{p}(X,Y)-{\frac {1}{2}}\,g_{p}(X,Y)\,s_{p}+g_{p}(X,Y)\,\Lambda =0$

mit der kosmologischen Konstante $\Lambda$ und der Skalarkrümmung $s_{p}$ ist. Durch Spurbildung in der Gleichung $\operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda \,g_{p}(X,Y)$ erhält man

$s_{p}=n\lambda ,$

dabei bezeichnet $n\,$ die Dimension der Mannigfaltigkeit.

Literatur

• Arthur L. Besse: Einstein Manifolds. Reprint of the 1987 edition. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-74120-6 (Classics in mathematics).