Ellipsoid-Koordinaten

Koordinatenflächen der Ellipsoid-Koordinaten (η,θ,λ) mit a=60 und b=40. Das blaue Ellipsoid gehört zu η=70, das rote einschalige Hyperboloid entspricht θ=50 und das gelbe zweischalige λ=30.

Ellipsoid-Koordinaten sind orthogonale Koordinaten, in denen ein Punkt des dreidimensionalen Raums durch Angabe der Lage auf einem Ellipsoid und konfokalen Hyperboloiden bestimmt wird, siehe Bild.

Ellipsoid-Koordinaten (englisch ellipsoidal coordinates) erlauben immer eine Trennung der Veränderlichen in der Laplace- und Helmholtz-Gleichung, was deren Lösung stark vereinfacht. Ellipsoid-Koordinaten bieten sich zur Lösung von Randwertaufgaben dort an, wo die Ränder des Gebiets ellipsoid- oder hyperboloid­förmig sind.

Durch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrödinger-Gleichung für das H₂⁺-Molekül in Born-Oppenheimer-Näherung separiert und für spezielle Formen der potentiellen Energie auch gelöst werden.

Sie sind nicht zu verwechseln mit den ellipsoidischen Koordinaten, die auf der Oberfläche eines Ellipsoids definiert sind und in der Geodäsie benutzt werden.

Koordinatenflächen

In Ellipsoid-Koordinaten (η,θ,λ) bestehen die Koordinatenflächen aus einem Ellipsoid (η=const., blau im Bild oben),

${\frac {x^{2}}{\eta ^{2}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\eta ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\eta ^{2}}}=1$

einem einschaligen Hyperboloid (θ=const., rot im Bild oben)

${\frac {y^{2}}{\theta ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\theta ^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}-\theta ^{2}}}=1$

und einem zweischaligen (mit λ=const., gelb im Bild oben)

${\frac {z^{2}}{\lambda ^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda ^{2}}}=1$

Damit das möglich ist, muss

$0\leq \lambda ^{2}<b^{2}<\theta ^{2}<a^{2}<\eta ^{2}$

sein. Aus obigen drei Gleichungen können die Koordinatenquadrate bestimmt werden:

$x^{2}={\frac {(\eta ^{2}-a^{2})(\theta ^{2}-a^{2})(\lambda ^{2}-a^{2})}{a^{2}(a^{2}-b^{2})}},\;y^{2}={\frac {(\eta ^{2}-b^{2})(\theta ^{2}-b^{2})(\lambda ^{2}-b^{2})}{b^{2}(b^{2}-a^{2})}},\;z^{2}=\left({\frac {\eta \theta \lambda }{ab}}\right)^{2}$

Die Koordinaten können mit den drei grundlegenden Jacobischen Funktionen ${\rm {sn}}(\alpha ,k),\,{\rm {cn}}(\beta ,k'),\,{\rm {dn}}(\gamma ,k)$, sinus–, cosinus– bzw. delta amplitudinis mit dem elliptischen Modul $k=b/a$ und dem komplementären Parameter $k'={\sqrt {1-k^{2}}}=:d/a,d:={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ als Funktion dreier Parameter α, β und γ dargestellt werden:

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {a}{{\rm {cn}}(\alpha ,k)}}{\begin{pmatrix}k'\,{\rm {sn}}(\alpha ,k)\,{\rm {sn}}(\beta ,k')\,{\rm {dn}}(\gamma ,k)\\k'\,{\rm {cn}}(\beta ,k')\,{\rm {cn}}(\gamma ,k)\\{\rm {dn}}(\alpha ,k)\,{\rm {dn}}(\beta ,k')\,{\rm {sn}}(\gamma ,k)\\\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}\eta \\\theta \\\lambda \end{pmatrix}}={\frac {a}{{\rm {cn}}(\alpha ,k)}}{\begin{pmatrix}{\rm {dn}}(\alpha ,k)\\{\rm {cn}}(\alpha ,k)\,{\rm {dn}}(\beta ,k')\\k\,{\rm {cn}}(\alpha ,k)\,{\rm {sn}}(\gamma ,k)\end{pmatrix}}$

In dieser Darstellung fällt θ≥0 und $z={\tfrac {\eta \theta \lambda }{ab}}$auf.

Metrische Faktoren, Weg- und Flächen- und Volumenelemente

→ Hauptartikel: Orthogonale Koordinaten#Metrische Faktoren, Weg-, Flächen- und Volumenelemente

Die kovarianten Basisvektoren sind mit ${\vec {r}}=(x,y,z)^{\top }$:

${\vec {g}}_{\eta }:={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \eta }}={\begin{pmatrix}{\frac {\eta x}{\eta ^{2}-a^{2}}}\\{\frac {\eta y}{\eta ^{2}-b^{2}}}\\{\frac {z}{\eta }}\end{pmatrix}},\;{\vec {g}}_{\theta }:={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}={\begin{pmatrix}-{\frac {\theta x}{a^{2}-\theta ^{2}}}\\{\frac {\theta y}{\theta ^{2}-b^{2}}}\\{\frac {z}{\theta }}\end{pmatrix}},\;{\vec {g}}_{\lambda }:={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \lambda }}={\begin{pmatrix}-{\frac {\lambda x}{a^{2}-\lambda ^{2}}}\\-{\frac {\lambda y}{b^{2}-\lambda ^{2}}}\\{\frac {z}{\lambda }}\end{pmatrix}}$

die, wie es sein soll, senkrecht zueinander sind, und in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Die metrischen Faktoren sind die Beträge der kovarianten Basisvektoren und lauten:

$h_{\eta }={\sqrt {\frac {(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\eta ^{2}-\lambda ^{2})}{(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})}}},\;h_{\theta }={\sqrt {\frac {(\theta ^{2}-\eta ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}{(\theta ^{2}-a^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}}},\;h_{\lambda }={\sqrt {\frac {(\lambda ^{2}-\eta ^{2})(\lambda ^{2}-\theta ^{2})}{(\lambda ^{2}-a^{2})(\lambda ^{2}-b^{2})}}}$

Das ellipsoidische Orthonormalsystem ist dementsprechend

${\begin{aligned}{\hat {c}}_{\eta }:=&{\sqrt {\frac {(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})}{(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\eta ^{2}-\lambda ^{2})}}}{\begin{pmatrix}{\frac {\eta x}{\eta ^{2}-a^{2}}}\\{\frac {\eta y}{\eta ^{2}-b^{2}}}\\{\frac {z}{\eta }}\end{pmatrix}}\\{\hat {c}}_{\theta }:=&{\sqrt {\frac {(\theta ^{2}-a^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}{(\theta ^{2}-\eta ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {\theta x}{a^{2}-\theta ^{2}}}\\{\frac {\theta y}{\theta ^{2}-b^{2}}}\\{\frac {z}{\theta }}\end{pmatrix}}\\{\hat {c}}_{\lambda }:=&{\sqrt {\frac {(\lambda ^{2}-a^{2})(\lambda ^{2}-b^{2})}{(\lambda ^{2}-\eta ^{2})(\lambda ^{2}-\theta ^{2})}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {\lambda x}{a^{2}-\lambda ^{2}}}\\-{\frac {\lambda y}{b^{2}-\lambda ^{2}}}\\{\frac {z}{\lambda }}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Das Linien-, Flächen- und Volumenelement ergibt sich zu

${\begin{aligned}{\rm {d}}{\vec {r}}=&{\vec {g}}_{\eta }{\rm {d}}\eta +{\vec {g}}_{\theta }{\rm {d}}\theta +{\vec {g}}_{\lambda }{\rm {d}}\lambda \\{\rm {d}}s^{2}:=&|{\rm {d}}{\vec {r}}|^{2}={\frac {(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\eta ^{2}-\lambda ^{2})}{(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})}}\,{\rm {d}}\eta ^{2}+{\frac {(\theta ^{2}-\eta ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}{(\theta ^{2}-a^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}}\,{\rm {d}}\theta ^{2}+{\frac {(\lambda ^{2}-\eta ^{2})(\lambda ^{2}-\theta ^{2})}{(\lambda ^{2}-a^{2})(\lambda ^{2}-b^{2})}}\,{\rm {d}}\lambda ^{2}\\{\rm {d}}A:=&h_{\eta }h_{\theta }{\hat {c}}_{\lambda }\,{\rm {d}}\eta \,{\rm {d}}\theta +h_{\theta }h_{\lambda }{\hat {c}}_{\eta }\,{\rm {d}}\theta \,{\rm {d}}\lambda +h_{\lambda }h_{\eta }{\hat {c}}_{\theta }\,{\rm {d}}\lambda \,{\rm {d}}\eta \\{\rm {d}}V:=&h_{\eta }h_{\theta }h_{\lambda }\,{\rm {d}}\eta \,{\rm {d}}\theta \,{\rm {d}}\lambda \end{aligned}}$

Differentialoperatoren in Ellipsoid-Koordinaten

→ Hauptartikel: Orthogonale Koordinaten#Differentialoperatoren in drei Dimensionen

Wegen der länglichen Ausdrücke für die metrischen Faktoren, wird auf die allgemeine Darstellung der Operatoren Gradient, Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes im Hauptartikel verwiesen.

Der Laplace-Operator ist:

${\begin{aligned}\Delta f=&{\frac {\sqrt {(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})}}{(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\eta ^{2}-\lambda ^{2})}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left({\sqrt {(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})}}{\frac {\partial f}{\partial \eta }}\right)\\&+{\frac {\sqrt {(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}}{(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\sqrt {(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)\\&+{\frac {\sqrt {(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})}}{(\eta ^{2}-\lambda ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left({\sqrt {(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})}}{\frac {\partial f}{\partial \lambda }}\right)\end{aligned}}$

oder mit ausgeführten Ableitungen und zusammengefasst:

${\begin{aligned}\Delta f=&{\frac {(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}f}{\partial \eta ^{2}}}+(2\eta ^{2}-a^{2}-b^{2})\eta {\frac {\partial f}{\partial \eta }}}{(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\eta ^{2}-\lambda ^{2})}}\\&+{\frac {(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}-(2\theta ^{2}-a^{2}-b^{2})\theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}}{(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}}\\&+{\frac {(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2}){\frac {\partial ^{2}f}{\partial \lambda ^{2}}}+(2\lambda ^{2}-a^{2}-b^{2})\lambda {\frac {\partial f}{\partial \lambda }}}{(\eta ^{2}-\lambda ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}}\end{aligned}}$

Lösung der Laplace- und Helmholtz-Gleichung

→ Hauptartikel: Helmholtz-Gleichung#Separation der Helmholtz-Gleichung

In Ellipsoid-Koordinaten gelingt immer eine Trennung der Variablen in der Laplace- und Helmholtz-Gleichung. Aus der Literatur sind folgende zwei Ansätze bekannt.

Der Ansatz von Moon und Spencer

Ausgangspunkt des im Hauptartikel beschriebenen Vorgehens ist die Stäckel-Matrix

$\mathbf {S} :={\begin{pmatrix}{\frac {\eta ^{4}}{(\eta ^{2}-b^{2})(\eta ^{2}-a^{2})}}&{\frac {1}{(\eta ^{2}-b^{2})(\eta ^{2}-a^{2})}}&{\frac {\eta ^{2}}{(\eta ^{2}-b^{2})(\eta ^{2}-a^{2})}}\\{\frac {-\theta ^{4}}{(\theta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\theta ^{2})}}&{\frac {-1}{(\theta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\theta ^{2})}}&{\frac {-\theta ^{2}}{(\theta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\theta ^{2})}}\\{\frac {\lambda ^{4}}{(b^{2}-\lambda ^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})}}&{\frac {1}{(b^{2}-\lambda ^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})}}&{\frac {\lambda ^{2}}{(b^{2}-\lambda ^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})}}\end{pmatrix}}$

mit der Determinante

$S={\frac {(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\eta ^{2}-\lambda ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}{(\eta ^{2}-b^{2})(\eta ^{2}-a^{2})(\theta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\theta ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})}}$

und den Minoren

${\begin{aligned}M_{1}=&{\frac {\theta ^{2}-\lambda ^{2}}{(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})}}\\M_{2}=&{\frac {\eta ^{2}-\lambda ^{2}}{(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})}}\\M_{3}=&{\frac {\eta ^{2}-\theta ^{2}}{(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})(\theta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\theta ^{2})}}\end{aligned}}$

Damit sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für eine einfache Separierbarkeit der skalaren Helmholtz-Gleichung gemäß

$h_{\eta }^{2}={\frac {S}{M_{1}}},\,h_{\theta }^{2}={\frac {S}{M_{2}}},\,h_{\lambda }^{2}={\frac {S}{M_{3}}}$

und

${\frac {h_{\eta }h_{\theta }h_{\lambda }}{S}}={\sqrt {(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})}}\cdot {\sqrt {(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}}\cdot {\sqrt {(b^{2}-\lambda ^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})}}$

erfüllt. Die Faktoren für den Separationsansatz $\phi (\eta ,\theta ,\lambda )=H(\eta )\cdot \Theta (\theta )\cdot \Lambda (\lambda )$ und die Trennungskonstanten $\alpha _{1,2,3}$ bestimmen sich aus

${\begin{aligned}(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}H}{\partial \eta ^{2}}}+[2\eta ^{2}-(a^{2}+b^{2})]\eta {\frac {\partial H}{\partial \eta }}+(a_{1}\eta ^{4}+a_{3}\eta ^{2}+a_{2})H=&0\\(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial \theta ^{2}}}-[2\theta ^{2}-(a^{2}+b^{2})]\theta {\frac {\partial \Theta }{\partial \theta }}-(a_{1}\theta ^{4}+a_{3}\theta ^{2}+a_{2})\Theta =&0\\(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2}){\frac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial \lambda ^{2}}}+[2\lambda ^{2}-(a^{2}+b^{2})]\lambda {\frac {\partial \Lambda }{\partial \lambda }}+(a_{1}\lambda ^{4}+a_{3}\lambda ^{2}+a_{2})\Lambda =&0\end{aligned}}$

Bei der Helmholtz-Gleichung $\Delta \phi +\kappa ^{2}\phi =0$ ist $\alpha _{1}=\kappa ^{2}$ und bei der Laplace-Gleichung ist entsprechend $\alpha _{1}=0$.

Der Ansatz von Morse und Feshbach

Ein anderer Ansatz benutzt die Stäckel-Matrix

$\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{\eta ^{2}-a^{2}}}&{\frac {1}{(a^{2}-b^{2})(\eta ^{2}-b^{2})}}\\1&{\frac {1}{\theta ^{2}-a^{2}}}&{\frac {1}{(a^{2}-b^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}}\\1&{\frac {1}{\lambda ^{2}-a^{2}}}&{\frac {1}{(a^{2}-b^{2})(\lambda ^{2}-b^{2})}}\end{pmatrix}}$

mit der Determinante

$S={\frac {(\eta ^{2}-\lambda ^{2})(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}{(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})}}$

und den Minoren

${\begin{aligned}M_{1}=&{\frac {\theta ^{2}-\lambda ^{2}}{(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})}}\\M_{2}=&{\frac {\eta ^{2}-\lambda ^{2}}{(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})}}\\M_{3}=&{\frac {\eta ^{2}-\theta ^{2}}{(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}$

Die Faktoren für den Separationsansatz $\phi (\eta ,\theta ,\lambda )=H(\eta )\cdot \Theta (\theta )\cdot \Lambda (\lambda )$ und die Trennungskonstanten $\alpha _{1,2,3}$ ergeben sich hier aus den Differenzialgleichungen

${\begin{aligned}&(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}H}{\partial \eta ^{2}}}+(2\eta ^{2}-a^{2}-b^{2})\eta {\frac {\partial H}{\partial \eta }}+\dots \\&\qquad \dots +\{\alpha _{1}\eta ^{4}-[\alpha _{1}(a^{2}+b^{2})-\alpha _{2}]\eta ^{2}+(\alpha _{1}a^{2}-\alpha _{2})b^{2}\}H=-\alpha _{3}{\frac {\eta ^{2}-a^{2}}{a^{2}-b^{2}}}H\\&(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial \theta ^{2}}}-(2\theta ^{2}-b^{2}-a^{2})\theta {\frac {\partial \Theta }{\partial \theta }}+\dots \\&\qquad \dots +[\alpha _{1}(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})-\alpha _{2}(\theta ^{2}-b^{2})]\Theta =-\alpha _{3}{\frac {a^{2}-\theta ^{2}}{a^{2}-b^{2}}}\Theta \\&(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2}){\frac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial \lambda ^{2}}}+(2\lambda ^{2}-b^{2}-a^{2})\lambda {\frac {\partial \Lambda }{\partial \lambda }}+\dots \\&\qquad \dots +[\alpha _{1}(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})-\alpha _{2}(b^{2}-\lambda ^{2})]\Lambda =\alpha _{3}{\frac {a^{2}-\lambda ^{2}}{a^{2}-b^{2}}}\Lambda \end{aligned}}$

Auch hier ist $\alpha _{1}=\kappa ^{2}$ bei der Helmholtz-Gleichung $\Delta \phi +\kappa ^{2}\phi =0$ und bei der Laplace-Gleichung entsprechend $\alpha _{1}=0$.

Wird hier $\alpha _{2}$ durch ${\tfrac {a^{4}\alpha _{1}+\alpha _{2}+a^{2}\alpha _{3}}{a^{2}-b^{2}}}$ und $\alpha _{3}$ durch $-(b^{4}\alpha _{1}+\alpha _{2}+b^{2}\alpha _{3})$ ersetzt, entstehen dieselben Differentialgleichungen wie sie #Der Ansatz von Moon und Spencer hervorbringt. Die mit den beiden Ansätzen ermittelten Differentialgleichungen unterscheiden sich nur in der Größe der Trennungskonstanten $\alpha _{2,3}$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Confocal Ellipsoidal Coordinates. In: MathWorld (englisch).