Elliptische Isometrie

In der Mathematik sind elliptische Isometrien in der hyperbolischen Geometrie und allgemeiner in der Theorie der CAT(0)-Räume von Bedeutung.

Definition

Es sei $X$ ein vollständiger CAT(0)-Raum, zum Beispiel ein hyperbolischer Raum. Eine Isometrie

$f\colon X\to X$

ist eine elliptische Isometrie, wenn sie einen Fixpunkt hat, d. h. wenn es ein $x\in X$ mit $f(x)=x$ gibt.

Beispiel

Sei $X={\mathbf {H} }^{2}=\left\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} (z)>0\right\}$ das Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene und $f\colon X\to X$ die durch

$f(z)={\frac {\cos(\phi )z+\sin(\phi )}{-\sin(\phi )z+\cos(\phi )}}$

gegebene Abbildung. Man kann überprüfen, dass $f$ eine Isometrie ist und den Fixpunkt $z=i$ hat. Es ist also eine elliptische Isometrie.

Allgemeiner können Isometrien der hyperbolischen Ebene durch Matrizen $A\in SL(2,\mathbb {R} )$ und Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes durch Matrizen $A\in SL(2,\mathbb {C} )$ beschrieben werden. Eine durch $A\in SL(2,\mathbb {R} )$ beschriebene Isometrie der hyperbolischen Ebene ist genau dann elliptisch, wenn für die Spur von $A$ die Ungleichung

$-2<\operatorname {Sp} (A)<2$

gilt. Für eine durch $A\in SL(2,\mathbb {C} )$ beschriebene elliptische Isometrie des hyperbolischen Raumes gilt notwendigerweise

$\mid \operatorname {Sp} (A)\mid \leq 2$ und $\operatorname {Sp} (A)\not \in \left\{-2,2\right\}$.

Eigenschaften

Es sei $X$ ein vollständiger CAT(0)-Raum und $f\colon X\to X$ eine Isometrie.

• $f$ ist genau dann elliptisch, wenn es einen beschränkten Orbit hat.
• $f$ ist genau dann elliptisch, wenn es ein $n>0$ gibt, für das $f^{n}$ elliptisch ist.

Siehe auch

• Hyperbolische Isometrie
• Parabolische Isometrie

Literatur

• Martin Bridson, André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319. Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-64324-9.
• Francis Bonahon: Low-dimensional geometry. From Euclidean surfaces to hyperbolic knots. Student Mathematical Library, 49. IAS/Park City Mathematical Subseries. American Mathematical Society, Providence, RI; Institute for Advanced Study (IAS), Princeton, NJ, 2009. ISBN 978-0-8218-4816-6

Weblinks

• Chang: Isometries of the hyperbolic plane