Vermutungen von Paul Erdős

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Der Mathematiker Paul Erdős hat in seinen Arbeiten viele Vermutungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik aufgestellt.

Vermutungen zur Zahlentheorie

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nur die Lösungen und hat.
für jede natürliche Zahl eine Lösung in natürlichen Zahlen hat.
Betrachten wir die Menge S aller natürlichen Zahlen n mit folgender Eigenschaft:
Für jede natürliche Zahl k mit k>0 und 2k < n ist n - 2k eine Primzahl.
Dann enthält S sicherlich die Zahlen .
Zum Beispiel ist 45 in S, weil die Zahlen , , , , alles Primzahlen sind.
Die Vermutung besagt nun, dass S nur aus diesen 7 Zahlen besteht.
Bis ist diese Vermutung nachgerechnet worden, d. h., es gibt sicherlich keine Zahlen in S außer den genannten, die kleiner als 277 sind.
Jede Zahl n in S (außer 4) liefert automatisch einen Primzahlzwilling, nämlich .
Siehe auch: Folge A039669 in OEIS
  • Erdős-Divergenz-Vermutung: Sie besagt, dass es für jede unendliche Folge der Zahlen +1 und −1 äquidistante Samples endlicher Länge gibt, die sich zu einer betragsmäßig beliebig großen Summe addieren. Terence Tao hat 2015 einen Beweis vorgelegt.[1] Der Beweis ist in einem peer reviewed Journal publiziert:[2]
  • Erdős-Woods-Vermutung: Gegeben sei eine beliebige ganze Zahl . Dann gibt es eine positive ganze Zahl , so dass durch die Liste der Primfaktoren von eindeutig bestimmt wird.
  • Seien und komplementäre n-elementige Teilmengen von . Sei die Menge der Lösungen mit . Man schätze für hinreichend große ab.
  • Sei ein ungerichter Graph und die Familie von Graphen, die nicht als induzierten Teilgraphen enthalten. Dann gibt es ein , so dass alle n-Graphen in eine Clique oder eine stabile Menge der Größe enthalten.
  • Erdős-Vermutung über arithmetische Folgen: Jede Menge mit enthält eine arithmetische Folge beliebiger Länge.

Vermutungen zur Graphentheorie

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  • Erdős-Faber-Lovász-Vermutung: Ein Graph, der eine Vereinigung vollständiger Graphen mit Knoten ist, die paarweise höchstens einen Knoten gemeinsam haben, ist -chromatisch.
  • Erdős-Gyárfás-Vermutung: Jeder Graph, dessen Knoten alle mindestens Grad 3 haben, enthält einen Kreis, dessen Länge eine Zweierpotenz ist.

Vermutungen zur Ramsey-Theorie

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Viele Vermutungen, welche von Erdős stammen oder an denen Erdős beteiligt war, betreffen das Gebiet der Ramsey-Theorie und insbesondere die Ramsey-Zahlen. Als herausragende Beispiele sind die Vermutung von Bondy und Erdős und die Erdős-Sós-Vermutung zu nennen.

Einzelnachweise

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  1. Chris Cesare: Maths whizz solves a master’s riddle. Nature News, 25. September 2015.
  2. Terence Taos Beweis der Divergenzvermutung in der Fachzeitschrift Discrete Analysis, mit Link zu einem Video von einem Vortrag darüber