Euler-Tschebyschow-Verfahren

Das Euler-Tschebyschow-Verfahren (nach Leonhard Euler und Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow; auch Verfahren der berührenden Parabeln) bezeichnet in der Numerischen Mathematik ein iteratives Verfahren zum Lösen nichtlinearer Gleichungen. Es ist vergleichbar mit dem Newton-Verfahren, hat jedoch die Konvergenzordnung 3.

Beschreibung

Hat man eine nichtlineare Gleichung in Nullstellenform

$F(x)=0$ einer Funktion $F:D\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$

und einen hinreichend guten Startwert $x_{0}$, so erhält man über eine näherungsweise Berechnung der Nullstelle der abgebrochenen Taylorentwicklung

$0=F(x_{k})+F'(x_{k})(x-x_{k})+{\frac {1}{2}}F''(x_{k})(x-x_{k})^{2}$

in jedem Schritt das folgende Verfahren. Die genaue Herleitung des Verfahrens ist in Halley-Verfahren im Abschnitt zum mehrdimensionalen Fall beschrieben.

Algorithmus

1. Wähle einen Startwert $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$, ein $\varepsilon >0$, $N\in \mathbb {N}$, setze $k=0$
   1. Falls $\|F(x_{k})\|<\varepsilon$ oder $k>N$ Stopp
   2. Löse :$F'(x_{k})s_{k}=-F(x_{k})$, (Newton-Schritt)
   3. Löse :$F'(x_{k})t_{k}=-{\frac {1}{2}}F''(x_{k})(s_{k},s_{k})$, (quadratische Korrektur)
   4. Setze $x_{k+1}=x_{k}+s_{k}+t_{k}$, $k=k+1$

Eigenschaften

Offenbar benötigt man im Gegensatz zum Newton-Verfahren die 2. Ableitung der Funktion. Die Erhöhung der Konvergenzordnung lohnt sich also nur, wenn die Berechnung der 2. Ableitung im Vergleich mit der Berechnung von Funktionswert und erster Ableitung leicht ist. Über andere Näherungen der Nullstelle der Taylorentwicklung erhält man andere Verfahren. Ein Beispiel dafür wäre das Halley-Verfahren.

Beispiel

Als einfaches eindimensionales Beispiel soll die Berechnung der Nullstelle von $f(x)=x+e^{x}$ mit dem Startwert 0 genommen werden. Die erste Ableitung ist $f'(x)=1+e^{x}$ die zweite Ableitung $f''(x)=e^{x}$

• Schritt 1
  • $f(0)=1$, $f'(0)=2$, $f''(0)=1$
  • $s_{0}=-{\frac {f(0)}{f'(0)}}=-0{,}5$
  • $t_{0}=-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {f''(0)\cdot s_{0}^{2}}{f'(0)}}=-0{,}0625$
  • $x_{1}=x_{0}+s_{0}+t_{0}=-0{,}5625$
• Schritt 2
  • $f(-0{,}5625)=0{,}0073$, $f'(-0{,}5625)=1{,}5698$, $f''(-0{,}5625)=0{,}5698$
  • $s_{1}=-{\frac {f(-0{,}5625)}{f'(-0{,}5625)}}=-0{,}0046$
  • $t_{1}=-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {f''(-0{,}5625)\cdot s_{1}^{2}}{f'(-0{,}5625)}}=-3{,}9063\cdot 10^{-6}$
  • $x_{2}=x_{1}+s_{1}+t_{1}=-0{,}5671$

Nach dem 2. Schritt erhält man als Funktionswert $f(-0{,}5671)=8{,}3450\cdot 10^{-10}$ und kann abbrechen.

Literatur

• Hubert Schwetlick: Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1979, 346 S.