Faktorion

Clifford Pickover, der Namensgeber dieser Zahlen

In der Zahlentheorie ist ein Faktorion (englisch Factorion) eine natürliche Zahl $n$, welche der Summe der Fakultäten ihrer Stellen gleich ist.

Mit anderen Worten und etwas allgemeiner (und mathematischer) mit Basis $b$ (also nicht nur im Dezimalsystem mit Basis $b=10$):

Sei $n$ eine natürliche Zahl. Die Summe der Fakultät ihrer Stellen (Digits) sei für eine Basis $b>1$ wie folgt definiert:

$SFD_{b}(n):=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!$

wobei $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ die Anzahl der Stellen der Zahl $n$ in der Basis $b$ angibt. $n!$ ist die Fakultät von $n$ und

$d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}$

ist der Wert der $i$-ten Stelle der Zahl $n$.

Eine natürliche Zahl $n$ nennt man $b$-Faktorion, wenn sie zur Basis $b$ ein Fixpunkt der Abbildung $SFD_{b}$ ist, wenn also $SFD_{b}(n)=n$ gilt.

Der Name Faktorion stammt vom amerikanischen Mathematiker und Autor Clifford A. Pickover.

Beispiele

• Sei $n=145$ im Dezimalsystem (also zur Basis $b=10$). Dann gilt:

$SFD_{10}(145)=1!+4!+5!=1+24+120=145$

Somit ist $n=145$ ein Faktorion zur Basis 10.

• Sei $n=40585$ im Dezimalsystem (also zur Basis $b=10$). Dann gilt:

$SFD_{10}(40585)=4!+0!+5!+8!+5!=24+1+120+40320+120=40585$

Somit ist $n=40585$ ein Faktorion zur Basis 10.

• Es folgt eine Liste aller Faktorionen $n$ im Dezimalsystem:

1, 2, 145, 40585 (Folge A014080 in OEIS)

• Es ist $n=49_{10}={\underline {1}}\cdot 5^{2}+{\underline {4}}\cdot 5^{1}+{\underline {4}}\cdot 5^{0}=144_{5}$ im Quinärsystem (also zur Basis $b=5$). Dann gilt:

$SFD_{5}(144_{5})=1!+4!+4!=1_{10}+24_{10}+24_{10}=49_{10}=144_{5}$

Somit ist $n=144_{5}$ ein Faktorion zur Basis 5.

• Es ist $n=41282_{10}={\underline {6}}\cdot 9^{4}+{\underline {2}}\cdot 9^{3}+{\underline {5}}\cdot 9^{2}+{\underline {5}}\cdot 9^{1}+{\underline {8}}\cdot 9^{0}=62558_{9}$ im Nonärsystem (also zur Basis $b=9$). Dann gilt:

$SFD_{9}(62558_{9})=6!+2!+5!+5!+8!=720_{10}+2_{10}+120_{10}+120_{10}+40320_{10}=41282_{10}=62558_{9}$

Somit ist $n=62558_{9}$ ein Faktorion zur Basis 9.

Eigenschaften

• Im Dezimalsystem gibt es nur 4 Faktorionen, nämlich 1, 2, 145 und 40585.

• Die Zahlen $n=1$ und $n=2$ sind Fixpunkte der Funktion $SFD_{b}$ für alle Basen $b$ und somit triviale Faktorionen für alle $b$. Alle anderen Faktorionen sind nichttriviale Faktorionen.

Beweis:

Es ist $SFD_{b}(1)=1!=1$ und $SFD_{b}(2)=2!=2$.

Im Dualsystem, also mit der Basis $b=2$, ist $2_{10}={\underline {1}}\cdot 2^{1}+{\underline {0}}\cdot 2^{0}=10_{2}$ und es gilt: $SFD_{2}(10_{2})=1!+0!=1_{10}+1_{10}=2_{10}=10_{2}$. $\Box$

• Im Dualsystem (also mit der Basis $b=2$) ist die Summe der Fakultät der Ziffern die Anzahl der Ziffern $k$ selbst.

Beweis:

Es ist $0!=1!=1$. Weil jede Zahl im Dualsystem nur aus Nullen und Einsen besteht und deren Fakultät ebenfalls immer je Eins ist, erhält man mit der Funktion $SFD_{2}(n)$ die Anzahl der Ziffern von $n$. $\Box$

• Für jede gegebene Basis $b$ gibt es nur eine endliche Anzahl von Faktorionen.

Beweis:

Man untersuche (zunächst einmal) im Dezimalsystem (also mit Basis $b=10$) den Maximalwert, den $SFD_{10}(n)$ mit einer $k$-stelligen Dezimalzahl $n$ erreichen kann. Eine $k$-stellige Dezimalzahl $n$ mit maximal großen Ziffern besteht aus $k$ 9ern. Somit muss für die Funktion $SFD_{10}(n)$ gelten: $SFD_{10}(n)\leq k\cdot 9!=362880k$.

Betrachtet man nun eine allgemeine $k$-stellige Dezimalzahl $10^{k-1}\leq n<10^{k}$ und die soeben betrachtete Ungleichung $SFD_{10}(n)\leq k\cdot 9!$, die für alle $k$-stelligen Dezimalzahlen gilt. Es gibt nur dann Faktorionen, solange $10^{k-1}\leq n\leq SFD_{10}(n)\leq k\cdot 9!$ gilt. Es ist aber sicherlich $9!=362880<10^{8}$. Somit erhält man die Ungleichung $10^{k-1}\leq k\cdot 9!<k\cdot 10^{8}$.

Wenn nun aber die Anzahl der Stellen $k\geq b=10$ ist, müsste laut der obigen Ungleichung noch immer $10^{k-1}<10\cdot 10^{8}=10^{9}$ gelten. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn $k-1<9$ und somit $k<10$ ist, was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass $k\geq 10$ sein soll. Die Bedingung $10^{k-1}\leq n\leq SFD_{10}(n)\leq k\cdot 9!$ stimmt also für $k\geq b=10$ nicht mehr, es kann also keine Faktorionen im Dezimalsystem geben, die 10 oder mehr Stellen haben.

Verallgemeinert man obige Überlegungen auf allgemeine Basen $b$, so erhält man die Ungleichung $b^{k-1}\leq n\leq SFD_{b}(n)\leq k\cdot (b-1)!$ und wegen $(b-1)!<b^{b-2}$ (für $b>2$) gilt weiters $b^{k-1}\leq k\cdot (b-1)!<k\cdot b^{b-2}$. Wenn nun auch hier die Anzahl der Stellen $k\geq b$ ist, müsste laut dieser Ungleichung noch immer $b^{k-1}<b\cdot b^{b-2}=b^{b-1}$ gelten. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn $k-1<b-1$ und somit $k<b$ ist, was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass $k\geq b$ sein soll. Die Bedingung $b^{k-1}\leq n\leq SFD_{b}(n)\leq k\cdot (b-1)!$ stimmt also für $k\geq b$ nicht mehr, es kann also keine Faktorionen im Zahlensystem mit Basis $b$ geben, die $b$ oder mehr Stellen haben. Die Anzahl der Faktorionen ist also nach oben hin begrenzt, es gibt somit nur endlich viele Faktorionen, was zu zeigen war. $\Box$

• Für alle Basen $b\geq 2$ zusammengenommen gibt es unendlich viele Faktorionen.

Beweis:

Es gibt Faktorionen-Gruppen, ohne auf die spezielle Basis $b$ eingehen zu müssen. Diese Gruppen bestehen aus unendlich vielen Faktorionen. Siehe weiter unten. $\Box$

Gesellige und befreundete Faktorionen

Eine natürliche Zahl $n$ nennt man geselliges Faktorion, wenn man nach $k$-facher Anwendung von $SFD_{b}$ auf diese Zahl wieder genau diese Zahl erhält. $n$ ist dann ein periodischer Punkt und $SFD_{b}$ formt eine periodische Folge (oder Zykel) der Periodenlänge $k$. Ist die Periodenlänge $k=2$, so nennt man das gesellige Faktorion auch befreundetes Faktorion. Ist also $(n_{1},n_{2})$ ein befreundetes Faktorion-Paar, so ist $SFD_{b}(n_{1})=n_{2}$ und $SFD_{b}(n_{2})=n_{1}$.

Beispiele

• Sei die Basis $b=10$, also das Dezimalsystem.

Die Summe der Fakultäten der Ziffern von $n_{1}=871$ ist $8!+7!+1!=40320+5040+1=45361$.

Die Summe der Fakultäten der Ziffern von $n_{2}=45361$ ist $4!+5!+3!+6!+1!=24+120+6+720+1=871$.

Somit ist $SFD_{10}(871)=45361$ und $SFD_{10}(SFD_{10}(871))=SFD_{10}^{2}(871))=871$. Es ist also $n_{1}=871$ ein periodischer Punkt, $SFD_{10}$ formt eine periodische Folge der Periodenlänge $k=2$. Somit ist $(n_{1},n_{2})=(871,45361)$ ein befreundetes Faktorion-Paar zur Basis $b=10$.

• Es folgt eine Liste aller befreundeten Faktorion-Paare $(n_{1},n_{2})$ im Dezimalsystem:

(871, 45361), (872, 45362) (Folge A214285 in OEIS)

• Sei die Basis $b=10$, also das Dezimalsystem.

Es ist $SFD_{10}(169)=1!+6!+9!=1+720+362880=363601$.

Es ist $SFD_{10}(363601)=3!+6!+3!+6!+0!+1!=6+720+6+720+1+1=1454$.

Es ist $SFD_{10}(1454)=1!+4!+5!+4!=1+24+120+24=169$.

Somit ist $SFD_{10}^{3}(169))=169$. Es ist also $n_{1}=169$ ein periodischer Punkt, $SFD_{10}$ formt eine periodische Folge der Periodenlänge $k=3$. Somit ist $(n_{1},n_{2},n_{3})=(169,363601,1454)$ ein geselliges Faktorion-Tripel zur Basis $b=10$.

• Es folgt eine Tabelle, der man alle Faktorionen und ausgewählte Zykel bis zur Basis $b=39$ ablesen kann:

Alle Faktorionen und ausgewählte Zykel bis zur Basis $b=39$

Basis $b$	Faktorionen zu dieser Basis im Dezimalsystem (Folge A193163 in OEIS)	Zykel geselliger und befreundeter Faktorione zur jeweiligen Basis $b$
01	$1,2=||_{1},3=|||_{1},\ldots$ (alle natürlichen Zahlen)
02	$1,2=10_{2}$	keine
03	$1,2$	keine
04	$1,2,7=13_{4}$	$3_{4}\rightarrow 12_{4}\rightarrow 3_{4}$
05	$1,2,49=144_{5}$	keine
06	$1,2,25=41_{6},26=42_{6}$	keine
07	$1,2$	$36_{7}\rightarrow 2055_{7}\rightarrow 465_{7}\rightarrow 2343_{7}\rightarrow 53_{7}\rightarrow 240_{7}\rightarrow 36_{7}$
08	$1,2$	$3_{8}\rightarrow 6_{8}\rightarrow 1320_{8}\rightarrow 12_{8}\rightarrow 3_{8}$, $175_{8}\rightarrow 12051_{8}\rightarrow 175_{8}$
09	$1,2,41282=62558_{9}$
10	$1,2,145,40585$	$871\rightarrow 45361\rightarrow 871$, $872\rightarrow 45362\rightarrow 872$, $169\rightarrow 363601\rightarrow 1454\rightarrow 169$
11	$1,2,26=24_{11},48=44_{11},40472=28453_{11}$
12	$1,2$
13	$1,2,519326767=83790C5B_{13}$
14	$1,2,12973363226=8B0DD409C_{14}$
15	$1,2,1441=661_{15},1442=662_{15}$
16	$1,2,2615428934649=260F3B66BF9_{16}$
17	$1,2,40465=8405_{17},43153254185213,43153254226251$
18	$1,2$
19	$1,2$
20	$1,2$
21	$1,2,25=14_{21}$
22	$1,2$
23	$1,2,1175342075206371480506$
24	$1,2,121=51_{24},122=52_{24}$
25	$1,2$
26	$1,2,2554945949267792653,2554945949267792654$
27	$1,2,5162=725_{27},15511266000434263077417003$
28	$1,2,144=54_{28}$
29	$1,2$
30	$1,2,9158749082185220449342855718547$
31	$1,2$
32	$1,2,274716917283731052265521640532641,274716917283731052265521640532642$
33	$1,2$
34	$1,2,18000109025414359935200386507490,8505776248524129345704131790637513,$ $534758618047777477508104143107726167,535289113281800215201773008128742106$
35	$1,2,1441=166_{35}$
36	$1,2,295241305446212678223851660458757144548$
37	$1,2,1126330494971327468882309406026121376169594$
38	$1,2,383221119611008975296796004067209041063001$
39	$1,2$

Eigenschaften

• Ein Faktorion ist ein geselliges Faktorion mit Periodenlänge $k=1$.
• Es gibt nur zwei befreundete Faktorion-Paare im Dezimalsystem, nämlich $(871,45361)$ und $(872,45362)$.
• Für jede gegebene Basis $b$ gibt es nur eine endliche Anzahl von Zyklen.

Ermitteln von Gruppen von Faktorionen

Man kann gewisse Gruppen von Faktorionen ermitteln, ohne auf die spezielle Basis $b$ eingehen zu müssen.

• Sei $k\in \mathbb {N}$ eine positive ganze Zahl im Zahlensystem mit der Basis $b=(k-1)!$. Dann gilt:

• $n_{1}=k\cdot b+1=k!+1$ ist ein Faktorion zur Basis $b$ für alle $k\geq 4$ (in Dezimalschreibweise geschrieben).
• $n_{2}=k\cdot b+2=k!+2$ ist ein Faktorion zur Basis $b$ für alle $k\geq 4$ (in Dezimalschreibweise geschrieben).

Beweis der 1. Behauptung:

Es ist $n_{1}=k\cdot b+1=k\cdot (k-1)!+1=k!+1$.

Weiters ist $n_{1}=(k\cdot b+1)_{10}={\underline {k}}\cdot b^{1}+{\underline {1}}\cdot b^{0}=k\cdot b+1=(k1)_{b}$ die Darstellung von $n_{1}$ zur Basis $b$. Es sei also $k$ die Zehnerstelle und $1$ die Einerstelle von $n_{1}$. Es gilt:

${\begin{array}{rcl}SFD_{b}(n_{1})&=&k!+1!\\&=&k\cdot (k-1)!+1\\&=&k\cdot b+1\\&=&n_{1}\end{array}}$

Somit ist $n_{1}$ ein Faktorion für alle $k\geq 4$ zur Basis b.

Für $k=3$ gilt diese Behauptung nicht, weil sonst die Basis $b=(k-1)!=2!=2$ wäre und $n_{1}$ in diesem Zahlensystem die Form $n_{1}=(31)_{2}$ hätte, obwohl es in diesem Zahlensystem die Ziffer $3$ gar nicht gibt. Analog verhält es sich mit $k=2$ und $k=1$. $\Box$

Beweis der 2. Behauptung:

Es ist $n_{2}=k\cdot b+2=k\cdot (k-1)!+2=k!+2$.

Weiters ist $n_{2}=(k\cdot b+2)_{10}={\underline {k}}\cdot b^{1}+{\underline {2}}\cdot b^{0}=k\cdot b+2=(k2)_{b}$ die Darstellung von $n_{2}$ zur Basis $b$. Es sei also $k$ die Zehnerstelle und $2$ die Einerstelle von $n_{2}$. Es gilt:

${\begin{array}{rcl}SFD_{b}(n_{2})&=&k!+2!\\&=&k\cdot (k-1)!+2\\&=&k\cdot b+2\\&=&n_{2}\end{array}}$

Somit ist $n_{2}$ ein Faktorion für alle $k\geq 4$ zur Basis b.

Für $k=3$ gilt diese Behauptung nicht, weil sonst die Basis $b=(k-1)!=2!=2$ wäre und $n_{2}$ in diesem Zahlensystem die Form $n_{2}=(32)_{2}$ hätte, obwohl es in diesem Zahlensystem diese Ziffern gar nicht gibt. Analog verhält es sich mit $k=2$ und $k=1$. $\Box$

Beispiel:

$k$	Basis $b=(k-1)!$	Faktorion
		$n_{1}$	$n_{2}$
4	6	$25=41_{6}$	$26=42_{6}$
5	24	$121=51_{24}$	$122=52_{24}$
6	120	$721=61_{120}$	$722=62_{120}$
7	720	$5041=71_{720}$	$5042=72_{720}$
8	5040	$40321=81_{5040}$	$40322=82_{5040}$

• Sei $k\in \mathbb {N}$ eine positive ganze Zahl im Zahlensystem mit der Basis $b=k!-k+1$. Dann gilt:

• $n_{1}=b+k=k!+1$ ist ein Faktorion zur Basis $b$ für alle $k\geq 2$ (in Dezimalschreibweise geschrieben)

Beweis:

Es ist $n_{1}=b+k=k!-k+1+k=k!+1$.

Weiters ist $n_{1}=(b+k)_{10}={\underline {1}}\cdot b^{1}+{\underline {k}}\cdot b^{0}=(1k)_{b}$ die Darstellung von $n_{1}$ zur Basis $b$. Es sei also $1$ die Zehnerstelle und $k$ die Einerstelle von $n_{1}$. Dann ist $n_{1}=1\cdot b+k$ und es gilt:

${\begin{array}{rcl}SFD_{b}(n_{1})&=&1!+k!\\&=&k!+1-k+k\\&=&1\cdot (k!-k+1)+k\\&=&1\cdot b+k\\&=&n_{1}\end{array}}$

Für $k=2$ gilt diese Behauptung nicht, weil sonst die Basis $b=k!-k+1=2!-2+1=2-2+1=1$ wäre und $n_{1}$ in diesem Zahlensystem die Form $n_{1}=(12)_{1}$ hätte, obwohl es in diesem Zahlensystem die Ziffer $2$ gar nicht gibt.

Somit ist $n_{1}$ ein Faktorion für alle $k\geq 3$ zur Basis b. $\Box$

Beispiel:

$k$	Basis $b=k!-k+1$	Faktorion $n_{1}$
3	4	$7=13_{4}$
4	21	$25=14_{21}$
5	116	$121=15_{116}$
6	715	$721=16_{715}$
7	5034	$5041=17_{5034}$

Siehe auch

• Fröhliche Zahl
• Kaprekar-Zahl
• Münchhausen-Zahl
• Narzisstische Zahl

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Factorion. In: MathWorld (englisch).
• Programme zur Berechnung von Faktorionen. rosettacode.org, abgerufen am 1. April 2022. 
• number theory part 3 -5 Factorion auf YouTube