Formel von Bretschneider

Konvexes Viereck

Die Formel von Bretschneider, benannt nach Carl Anton Bretschneider, berechnet die Fläche eines Vierecks basierend auf seinen Seiten und Diagonalen. Sie ist damit eine Verallgemeinerung der Formel von Brahmagupta, die nur für Sehnenvierecke gilt und selbst eine Verallgemeinerung der Formel von Heron für die Fläche eines Dreiecks darstellt.

Die Fläche eines Vierecks ABCD mit Seiten $a,b,c,d$ und Diagonalen $e,f$ berechnet sich wie folgt:

${\begin{aligned}F&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}.\end{aligned}}$

Hierbei ist $s$ der halbe Umfang des Vierecks mit $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$ und der Korrekturterm ${\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)$ ist nach dem Satz von Ptolemäus genau dann 0, wenn es sich um ein Sehnenviereck handelt.

Die Formel besitzt auch trigonometrische Varianten, bei denen statt der Diagonalen zwei gegenüberliegende Innenwinkel des Vierecks verwendet werden:

${\begin{aligned}F&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}\end{aligned}}$

Auch hier fällt der Korrekturterm im Spezialfall des Sehnenvierecks weg, da sich in diesem gegenüberliegende Winkel zu $\pi$ ergänzen und $\cos({\tfrac {\pi }{2}})=0$ beziehungsweise $\cos(\pi )=-1$ gilt.

Sowohl F. Strehlke als auch C. A. Bretschneider veröffentlichten trigonometrische Varianten der Formel erstmals 1842 in zwei separaten Artikeln, die erste Darstellung mit Hilfe der Diagonalen erschien in einer Publikation von G. Dostor (1868), während die zweite Darstellung mit den Diagonalen und dem Korrekturterm auf J. L. Coolidge (1939) zurückgeht.

Literatur

• Ayoub B. Ayoub: Generalizations of Ptolemy and Brahmagupta Theorems. In: Mathematics and Computer Education, Volume 41, Number 1, 2007, ISSN 0730-8639
• V. F. Ivanoff, C. F. Pinzka, Joe Lipman: Solution to Problem E1376: Bretschneider’s Formula. In: Amer. Math. Monthly, 67, 1960, S. 291–292 (JSTOR:2309706)
• J. L. Coolidge: A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral. In: The American Mathematical Monthly, Vol. 46, No. 6 (Juni–Juli, 1939), S. 345–347 (JSTOR:2302891)
• Ernest William Hobson: A Treatise on Plane Trigonometry. Cambridge University Press, 1918, S. 204–205 (archive.org)
• G. Dostor: Propriétés nouvelle du quadrilatère en général avec application aux quadrilatéres inscriptibles, circonscriptibles. In: Archiv der Mathematik und Physik, Band 48, 1868, S. 245–348
• C. A. Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. In: Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225–261 (books.google.de)
• F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. In: Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323–326 (books.google.de)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Bretschneider’s Formula. In: MathWorld (englisch).
• Bretschneider’s formula auf proofwiki.org (Formel und Beweis in Englisch)
• Formel und Beweis im Wikibooks Beweisarchiv