G2-Mannigfaltigkeit

Eine G₂-Mannigfaltigkeit (oder Joyce-Mannigfaltigkeit) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine siebendimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren Holonomiegruppe in der exeptionellen Lie-Gruppe $G_{2}$ enthalten ist. Eine Anwendung finden $G_{2}$-Mannigfaltigkeiten in der M-Theorie, einer Erweiterung und Verallgemeinerung der Stringtheorie. Etwa wird durch Kompaktifizierung über einer $G_{2}$-Mannigfaltigkeit die Reduktion der elfdimensionalen Raumzeit der M-Theorie auf die vierdimensionale Raumzeit des Universums möglich.

Geschichte

Erstmals vorgeschlagen wurde die Existenz von $G_{2}$-Mannigfaltigkeiten von Marcel Berger im Jahr 1955. Später blieb diese Möglichkeit konsistent mit dem Beweis seines Klassifikationstheorems durch James Simons im Jahr 1962. Edmond Bonan zeigte im Jahr 1966, dass eine $G_{2}$-Mannigfaltigkeit sowohl eine parallele $3$-Form als auch eine parallele $4$-Form tragen und Ricci-flach sein muss. Robert Bryant konstruierte im Jahr 1984 das erste lokale (nichtkompakte) Beispiel, wobei dieses erst im Jahr 1987 in Annals of Mathematics veröffentlicht wurde. Robert Bryant und Simon Salamon konstruierten im Jahr 1989 das erste vollständige (nichtkompakte) Beispiel. Dominic Joyce fand im Jahr 1996 das erste kompakte Beispiel.

Eigenschaften

Jede kompakte Mannigfaltigkeit $X$ mit ganz $G_{2}$ als Holonomiegruppe hat:

• endliche Fundamentalgruppe $\pi _{1}(X)$,
• nichtverschwindende erste Pontrjagin-Klasse $p_{1}(X)$,
• nichtverschwindende dritte und vierte Betti-Zahl $b_{3}(X)$ und $b_{4}(X)$.

Siehe auch

• Spin(7)-Mannigfaltigkeit, achtdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit deren Holonomiegruppe in der Obergruppe $\operatorname {Spin} (7)>G_{2}$ enthalten ist

Literatur

• Edmond Bonan: Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7). In: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris. Nr. 262, 1966, S. 127–129 (französisch). 
• M. Fernandez, A. Gray: Riemannian manifolds with structure group G2. In: Ann. Mat. Pura Appl. Nr. 32, 1982, S. 19–845 (englisch). 
• Robert L. Bryant: Metrics with exceptional holonomy. In: Annals of Mathematics. Band 126, Nr. 2, 1987, S. 525–576 (englisch). 
• Robert L. Bryant, Simon M. Salamon: On the construction of some complete metrics with exceptional holonomy. In: Duke Mathematical Journal. Band 58, Nr. 3, 1989, S. 829–850, doi:10.1215/S0012-7094-89-05839-0 (englisch). 
• Dominic Joyce: Compact Manifolds with Special Holonomy. In: Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, 2000, ISBN 0-19-850601-5 (englisch). 
• Katrin Becker, Melanie Becker, John Schwarz: Manifolds with G2 and Spin(7) holonomy. String Theory and M-Theory : A Modern Introduction. Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-86069-7, S. 433–455 (englisch). 
• Spiro Karigiannis: Flows of G2 and Spin(7) structures. In: Mathematical Institute. 4. Auflage. Nr. 9. University of Oxford, 2009, S. 389–463, doi:10.1093/qmath/han020 (englisch). 
• Spiro Karigiannis: What is a G2-Manifold? In: AMS Notices. 4. Auflage. Nr. 58, 2011, S. 580–581 (englisch, ams.org [PDF; 64 kB]). 

Weblinks

• G₂ manifold und M-theory on G₂-manifolds auf nLab (englisch)