Gaußscher Kettenbruch

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In der komplexen Analysis ist der Gaußsche Kettenbruch eine bestimmte Klasse von Kettenbrüchen, die von hypergeometrischen Funktionen abgeleitet ist. Es war einer der ersten analytischen Kettenbrüche, die der Mathematik bekannt waren, und es kann verwendet werden, um mehrere wichtige elementare Funktionen sowie einige der komplizierteren transzendenten Funktionen darzustellen.

Johann Heinrich Lambert veröffentlichte 1768 mehrere Beispiele für fortgesetzte Brüche in dieser Form, und sowohl Euler als auch Lagrange untersuchten ähnliche Konstruktionen, aber es war Carl Friedrich Gauß, der 1813 die im nächsten Abschnitt beschriebene Algebra verwendete, um die allgemeine Form dieses Kettenbruchs abzuleiten.[1]

Obwohl Gauß die Form dieses Kettenbruchs angab, lieferte er keinen Beweis für seine Konvergenzeigenschaften. Bernhard Riemann und L.W. Thomé erzielten teilweise Ergebnisse, aber der endgültige Beweis über die Region, in welcher der Kettenbruch konvergiert, wurde erst 1901 von Edward Burr Van Vleck gegeben.[2]

Lassen wir sequentiell-analytische Funktionen sein, so dass folgt

für alle , wobei eine Konstante ist.

Dann

Setzen wir

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Also

Via der Wiederholung dessen dies ad infinitum wird der Kettenbruchausdruck erzeugt

In den Kettenbrüchen von Gauß, die Funktion ist eine hypergeometrische Funktion der Form , , und ,und den Gleichungen entstehen Identitäten zwischen Funktionen, bei denen sich die Parameter um ganzzahlige Beträge unterscheiden. Diese Identitäten können auf verschiedene Arten bewiesen werden, zum Beispiel durch Erweitern der Reihe und Vergleichen von Koeffizienten oder durch Ableiten auf verschiedene Arten und Eliminieren aus den erzeugten Gleichungen.

Der einfachste Fall ist

Beginnend mit der Identität

wir nutzen

was impliziert

oder

Dieser Kettenbruch konvergiert gegen die meromorphe Funktion, die durch das Verhältnis der beiden konvergenten Reihen definiert ist (vorausgesetzt natürlich, dass a weder Null noch eine negative ganze Zahl ist).

Der nächste Fall enthält

für den die zwei Identitäten

abwechselnd verwendet werden.

Definieren wir

und so weiter.

Das gibt , wobei , was folgert

oder

Ähnlich

oder

Da , würde das substituieren von a zu 0 und b + 1 zu b zu den vereinfachten Spezialfall des Kettenbruchs führen:

Der finale Fall enthält

Nochmals, zwei Identitäten.

Diese sind essentiell gleich für wechselnde a und b.

Definieren wir

und so weiter.

Das gibt , wobei , was folgert

oder

Da , würde das substituieren von a zu 0 und c + 1 zu c zu den vereinfachten Spezialfall des Kettenbruchs führen:

Anwendungsbeispiele

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Es ist bekannt, dass

woraus der Kettenbruch folgt

Dieser spezielle Kettenbruch ist auch bekannt als Lambertscher Kettenbruch und wir zurück auf 1768 datiert.

Damit folgt, dass

Die Reihenentwicklung des kann z. B. genutzt werden um zu zeigen, dass für alle ganzen irrational ist (was jedoch nicht ausreicht um zu zeigen, dass transzendent ist). Die Reihenentwicklung des wurde sowohl von Lambert als auch Legendre genutzt um zu beweisen, dass pi irrational ist.

Die Bessel-Funktion kann umgeschrieben werden zu

woraus der Kettenbruch folgt

Diese Formeln gelten auch für .

Mit , folgt

Was mit ein wenigen Umformungen zu einem simpleren Kettenbruch für führt,

Die Fehlerfunktion , definiert durch

kann ebenso in Termen von Kummers hypergeometrischen Funktionen (auch bekannt als konfluente hypergeometrische Funktion) geschrieben werden:

Unter der Verwendung des Kettenbruchs von Gauß kann ein nützlicher Kettenbruch gefunden werden, welcher für alle gilt:

Eine ähnliche Argumentation kann für die Fresnel-Integrale, für die Dawson-Funktion, und die unvollständige Gammafunktion geführt werden. Eine einfachere Version des Arguments ergibt zwei nützliche Kettenbrucherweiterungen der Exponentialfunktionen.

Von

Es ist leicht zu zeigen, dass die Taylorreihenentwicklung des Arkustangens um 0 gegeben ist durch

Der Kettenbruch von Gauß kann auf diese Identität angewendet werden um den Kettenbruch zu erhalten

die zum Hauptzweig der inversen Tangensfunktion auf der Schnittebene konvergiert, wobei sich der Schnitt entlang der imaginären Achse von i bis zum Punkt im Unendlichen und von bis zum Punkt im Unendlichen erstreckt.

Dieser spezielle fortgesetzte Bruch konvergiert ziemlich schnell, wenn , und ergibt den Wert bis auf sieben Dezimalstellen durch die neunte Konvergente. Die entsprechende Reihenentwicklung

viel langsamer konvergiert, da mehr als eine Million Terme erforderlich sind, um eine Genauigkeit von sieben Dezimalstellen zu erzielen.

Variationen dieses Ausdrucks können genutzt werden um die Kettenbrüche weiterer Funktionen wie den natürlichen Logarithmus, der Arkussinusfunktion und die verallgemeinerte binomische Reihe.

Einzelnachweise

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  1. Vorlesung "Kettenbrüche" der Universität Bremen, ab WS 1004/2005, Seite 5, abrufbar unter https://www.fim.uni-passau.de/fileadmin/dokumente/fakultaeten/fim/lehrstuhl/sauer/geyer/Kettenbrueche.pdf
  2. https://www.spektrum.de/wissen/carl-friedrich-gauss/974336