Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum

Ein gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum ist in der Stochastik und insbesondere im Malliavin-Kalkül ein Wahrscheinlichkeitsraum zusammen mit einem Hilbert-Raum zentrierter, reeller gaußscher Zufallsvariablen, welcher gaußscher Hilbert-Raum (oder gaußscher Raum) genannt wird. Wichtige Beispiele gaußscher Wahrscheinlichkeitsräume sind die abstrakten Wiener-Räume.

Die Terminologie ist in der Literatur nicht immer einheitlich, generell versteht man unter dem Begriff gaußscher Raum einen abgeschlossenen Unterraum des L²-Raumes, dessen Elemente zentrierte Gauß-Variablen sind. Manche Autoren bezeichnen aber auch allgemein Räume mit einem gaußschen Maß als gaußsche Räume. Wir folgen der Monographie () von Paul Malliavin.

Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum

Ein gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })$ besteht aus

• einem (vollständigen) Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ,
• einem abgeschlossenen Unterraum ${\mathcal {H}}\subset L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$, so dass alle $X\in {\mathcal {H}}$ zentrierte Gauß-Variablen sind, d. h. es gilt $X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$. Die σ-Algebra der Elemente in ${\mathcal {H}}$ notieren wir mit ${\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}$.
• einer σ-Algebra ${\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }$ der transversalen Zufallvariablen, welche durch die Beziehung

${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }$

definiert wird.

Irreduzibilität

Ein gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum heißt irreduzibel, wenn ${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}$ gilt. Irreduzible gaußsche Wahrscheinlichkeitsräume werden mit $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})$ notiert. Der Begriff der nicht-irreduziblen gaußschen Wahrscheinlichkeitsräume wird aus zwei Gründen definiert:

1. Um auf Unterräumen arbeiten zu können.
2. Um den Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ erweitern zu können.

Ansonsten wählt man in der Regel einen irreduziblen gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum.

Unterräume

Ein Unterraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp })$ eines gaußschen Wahrscheinlichkeitsraumes $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })$ besteht aus

• einem abgeschlossenen Unterraum ${\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}$ von ${\mathcal {H}}$,
• einer Teil-σ-Algebra ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }\subset {\mathcal {F}}$ der transversalen Zufallvariablen, so dass ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }$ und ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}$ unabhängig sind und eine neue Produkt-σ-Algebra ${\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}\otimes {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }$ bilden. Des Weiteren soll gelten ${\mathcal {A}}\cap {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }={\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }$.

Beispiel:

Sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })$ gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum mit abgeschlossenem ${\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}$. Sei nun $V$ das orthogonale Komplement von ${\mathcal {H}}_{1}$ in ${\mathcal {H}}$. Orthogonalität impliziert Unabhängigkeit zwischen $V$ und ${\mathcal {H}}_{1}$, also ist ${\mathcal {A}}_{V}$ unabhängig von ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}$. Definiere nun ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }$ durch ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }:=\sigma ({\mathcal {A}}_{V},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })={\mathcal {A}}_{V}\vee {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }$.

Bemerkung

Bemerke, für $G=L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp },P)$ gilt $L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)=L^{2}((\Omega ,{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}},P);G)$.

Fundamentalalgebra

Zu einem gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })$ definieren wir die Algebra der zylindrischen Zufallsvariablen der Form

$\mathbb {A} _{\mathcal {H}}=\{F=P(X_{1},\dots ,X_{n}):X_{i}\in {\mathcal {H}}\}$

wobei $P$ ein Polynom in $n$ Variablen ist und nennen $\mathbb {A} _{\mathcal {H}}$ die Fundamentalalgebra. Es gilt $\mathbb {A} _{\mathcal {H}}\subset L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ für $p<\infty$.

Für einen irreduziblen gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})$ gilt, dass $\mathbb {A} _{\mathcal {H}}$ eine dichte Menge in $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ für alle $p\in [1,\infty [$ ist.

Numerisches Modell und Segal-Modell

Ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})$ mit einer gewählten Basis für ${\mathcal {H}}$ nennt man numerisches Modell. Zwei numerische Modelle sind isomorph, wenn ihre gaußschen Räume die gleiche Dimension haben.

Gegeben ist ein separabler Hilbert-Raum $G$, dann existiert immer ein kanonischer irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum $\operatorname {Seg} (G)=(\Omega ,{\mathcal {F}},P,G)$ namens Segal-Modell mit $G$ als gaußscher Raum. In diesem Fall notiert man die zu $g\in G$ assoziierte gaußsche Zufallsvariable als $W(g)$ und schreibt entsprechend den gaußschen Raum als ${\mathcal {G}}=\{W(g)\colon g\in G\}$, das heißt $\operatorname {Seg} (G)=(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {G}})$. Diese Notation ist analog zu dem isonormalen Gauß-Prozess.

Beispiele

• Sei $C_{0}[0,1]=\{\omega :\omega {\text{ ist stetig auf }}[0,1],\omega (0)=0\}$ der klassische Wiener-Raum, ${\mathcal {B}}(C_{0})=\sigma (W_{s},0\leq s\leq 1)$ die σ-Algebra der Koordinaten-Abbildungen $W_{s}:\omega \mapsto \omega (s)$ (oder äquivalent die borelsche σ-Algebra von $C_{0}[0,1]$) und $\mu$ das Wiener-Maß. Weiter sei $H=L^{2}(0,1)$ und ${\mathcal {H}}=\{W_{h},h\in H\}$ die Familie der Wiener-Integrale definiert durch

$W_{h}(\omega )=\int _{0}^{1}h(t)d\omega (t).$

Dann ist $(C_{0}[0,1],{\mathcal {B}}(C_{0}),\mu ,{\mathcal {H}})$ ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum.

• Sei $(X,H,\mu )$ ein abstrakter Wiener-Raum, d. h. $X$ ist ein separabler Banach-Raum und $H$ separabler Hilbert-Raum, der stetig und dicht in $X$ eingebettet ist, $\mu$ ein zentriertes gaußsches Maß und ${\mathcal {H}}=\{W_{l}(x):=\langle l,x\rangle ,l\in X^{*}\}$. Dann ist $(X,{\mathcal {B}}(X),\mu ,{\mathcal {H}})$ ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum.