Gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit

Die gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit verbindet die Begriffe gleichmäßiger und gleichgradiger Stetigkeit.

Seien $(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$ metrische Räume, sei $F\subset C_{b}(X,Y)$ eine Teilmenge beschränkter, stetiger Funktionen. Die Funktionenfamilie bzw. Funktionenschar $F$ heißt gleichgradig gleichmäßig stetig, wenn gilt:

Für alle $\varepsilon >0$ existiert ein $\delta >0$, so dass für alle $x,x'\in X$ und für alle $f\in F$ gilt:

$d_{X}(x,x')\leq \delta \Rightarrow d_{Y}\left(f(x),f(x')\right)\leq \varepsilon$.

Das heißt, wenn man ein $\varepsilon$ vorgibt, findet man ein $\delta$, so dass die Aussage für alle Funktionen der Familie und für alle Punkte des Raumes gilt. $\delta$ hängt also nur von $\varepsilon$ ab, weder von $f$ noch von $x$.

Beispiele

• Besitzen alle Funktionen $f\in F$ dieselbe Lipschitzkonstante, so ist die Funktionenfamilie $F$ gleichmäßig gleichgradig stetig.