Graßmann-Schema

In der algebraischen Geometrie parametrisiert das Graßmann-Schema die $d$ -dimensionalen Unterräume des $R^{n}$ für beliebige Ringe $R$ .

Definition

Der Graßmann-Funktor

{\mathcal {G}}(d,n)\colon \left\{{\mathcal {Rings}}\right\}\to \left\{{\mathcal {Sets}}\right\}

bildet einen Ring $R$ auf die Menge der direkten Summanden vom Rang $d$ des $R^{n}$ ab.

Das Graßmann-Schema $G(d,n)$ ist ein diesen Funktor darstellendes Schema. Es soll also gelten

{\mathcal {G}}(d,n)(R)=Mor(Spec(R),G(d,n))

für jeden Ring $R$ .

Aus dem Lemma von Yoneda folgt, dass $G(d,n)$ eindeutig bestimmt ist. Die unten angegebene Konstruktion zeigt, dass es tatsächlich existiert.

Konstruktion

Das Graßmann-Schema wird wie folgt konstruiert:

G(d,n)=Proj(\mathbb {Z} \left[x_{I}\right]/I_{d,n})

,

wobei die Indexmenge $I$ der Variablen die $\left({\begin{array}{c}n\\d\end{array}}\right)$ verschiedenen $d$ -elementigen Teilmengen von $\left\{1,\ldots ,n\right\}$ durchläuft und $I_{d,n}$ das von den Graßmann-Plücker-Relationen erzeugte Ideal ist.