Gruppen-Von-Neumann-Algebra

In der Mathematik organisiert die Gruppen-Von-Neumann-Algebra einer Gruppe $G$ die Morphismen von Hilbert-$G$-Moduln.

Definitionen

Für eine abzählbare Gruppe $G$ sei $B(l^{2}G)$ die $\mathbb {C}$-Algebra der beschränkten linearen Operatoren des Hilbert-Moduls $l^{2}G$.

Die $G$-Wirkung auf $l^{2}G$ setzt sich fort zu einer Wirkung des Gruppenrings $\mathbb {C} G$ und damit zu einer Inklusion $\mathbb {C} G\to B(l^{2}G)$.

Die Gruppen-Von-Neumann-Algebra $NG$ wird definiert durch eine der folgenden äquivalenten Definitionen.

• $NG$ ist der schwache Abschluss von $\mathbb {C} G$ in $B(l^{2}G)$.
• $NG$ ist der starke Abschluss von $\mathbb {C} G$ in $B(l^{2}G)$.
• $NG$ ist der Bikommutant von $\mathbb {C} G$ in $B(l^{2}G)$.
• $NG$ ist die Unteralgebra der links-$\mathbb {C} G$-äquivarianten beschränkten Operatoren in $B(l^{2}G)$.

Die Gruppen-Von-Neumann-Algebra ist eine Von-Neumann-Algebra.

Siehe auch

• Gruppen-C*-Algebra

Literatur

• W. Lück: L²-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
• H. Kammeyer: Introduction to l²-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
• C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L²-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).