Dreikreisesatz von Hadamard

Der Dreikreisesatz von Hadamard, auch hadamardscher Dreikreisesatz genannt, englisch Hadamard’s three-circle theorem, ist ein Lehrsatz auf dem mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie. Der Satz geht zurück auf den französischen Mathematiker Jacques Hadamard (1865–1963). Er kann aus dem Maximumprinzip der Funktionentheorie hergeleitet werden und zieht eine Anzahl von weiteren Sätzen der Funktionentheorie nach sich, insbesondere den Satz von Liouville.

Formulierung des Satzes

Der Dreikreisesatz lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein Gebiet $G\subseteq \mathbb {C}$ sowie eine darauf definierte holomorphe Funktion $f\colon G\to \mathbb {C} \;;\;z\mapsto f(z)$ , welche nicht die Nullfunktion sei.

Gegeben seien weiter zwei reelle Zahlen $a,b\;(0<a<b)$ und dazu ein in $G$ enthaltener Kreisring $A=\{z\in \mathbb {C} \colon a\leq |z|\leq b\}$.

Dann gilt für die zugehörige reellwertige Funktion

$M\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{>0}\;;\;r\mapsto M(r):=\max _{|z|=r}\;{|f(z)|}$

stets die Ungleichung

$M(r)\leq {M(a)}^{\frac {\ln(b)-\ln(r)}{\ln(b)-\ln(a)}}\cdot {M(b)}^{\frac {\ln(r)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}$.

Mit anderen Worten:

Die reellwertige Funktion $r\mapsto \ln {\bigl (}M(r){\bigr )}$ ist eine in $\ln(r)$ konvexe Funktion und erfüllt daher stets die Ungleichung

$\ln {\bigl (}(M(r){\bigr )}\leq {{\frac {\ln(b)-\ln(r)}{\ln(b)-\ln(a)}}\cdot \ln {\bigl (}(M(a){\bigr )}+{{\frac {\ln(r)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}\cdot \ln {\bigl (}(M(b){\bigr )}}\;(a\leq r\leq b)}$.

Anwendung: Der Satz von Jentzsch

Wie Edmund Landau zeigte, lässt sich durch Anwendung des Dreikreisesatzes ein anderes bekanntes Resultat der Funktionentheorie herleiten, nämlich der Satz von Jentzsch. Dieser geht zurück auf die Inauguraldissertation von Robert Jentzsch aus dem Jahre 1914. Der Satz wurde von Jentzsch dann auch in den Acta Mathematica des Jahres 1916 veröffentlicht und gab Anlass zu vielen weiterführenden funktionentheoretischen Untersuchungen Er lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben sei eine in $\mathbb {C}$ um den Entwicklungspunkt $z_{0}=0$ entwickelte Potenzreihe $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}z^{n}}=a_{0}+a_{1}z^{1}+a_{2}z^{2}+\ldots +a_{n}z^{n}+a_{n+1}z^{n+1}\ldots$

mit endlichem Konvergenzradius $r\in (0\;,\;\infty )$ und Konvergenzkreis $D=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<r\}$ .

Die zugehörige komplexwertige Funktion $f\colon \,D\to \mathbb {C} ,\;z\mapsto f(z)$

sei nicht konstant und es gelte $a_{0}\neq 0$ .

Weiter seien

$s_{k}(z)=\sum _{n=0}^{k}{a_{n}z^{n}}=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\ldots +a_{k}z^{k}\;(k\in \mathbb {N} _{0})$

die dazu gebildeten Abschnittsfunktionen .

Dann gilt:

In jeder beliebig kleinen offenen Umgebung eines jeden Randpunktes des Konvergenzkreises haben stets unendlich viele Abschnittsfunktionen je mindestens eine Nullstelle.

Literatur

Monographien

• Robert B. Burckel: An introduction to classical complex analysis. Band 1. Birkhäuser Verlag, Basel / Stuttgart 1979, ISBN 3-7643-0989-X (MR0555733). 
• G. M. Golusin: Geometrische Funktionentheorie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 31). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1957 (MR0089896). 
• Adolf Hurwitz, Richard Courant: Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 3). 4., vermehrte und verbesserte Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1964 (MR0173749). 
• Edmund Landau, Dieter Gaier: Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie. 3., erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1986, ISBN 3-540-16886-9 (MR0869998). 
• Rolf Nevanlinna: Eindeutige analytische Funktionen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 46). Springer-Verlag, Berlin (u. a.), ISBN 3-540-06233-5. 
• Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. verbesserte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München / Wien 1999, ISBN 3-486-24789-1 (MR1736644). 
• Fritz Rühs: Funktionentheorie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 56). 3., berichtigte Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976 (MR0486433). 
• E. C. Titchmarsh: The Theory of Functions. Oxford University Press, Oxford / London (u. a.) 1978. 

Originalarbeiten

• Aryeh Dvoretzky: On the theorem of Jentzsch. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. Band 35, 1949, S. 246–252 (MR0029995). 
• Robert Jentzsch: Untersuchungen zur Theorie der Folgen analytischer Funktionen. In: Acta Mathematica. Band 41, 1916, S. 219–251 (link.springer.com).  MR1555151
• Raphael M. Robinson: Hadamard’s three circles theorem. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 50, 1944, S. 795–802 (projecteuclid.org).  MR0011120