Halbregulärer Raum

Ein halbregulärer Raum ist ein mathematisches Objekt aus der mengentheoretischen Topologie. Er ist eine Verallgemeinerung des regulären Raums, dessen regulär offene Teilmengen eine Basis bilden.

Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt halbregulär, falls die regulär offenen Teilmengen eine Basis des Raums $X$ bilden. Dabei heißt eine Teilmenge $G$ eines topologischen Raums $X$ genau dann regulär offen, wenn $G$ das Innere seines Abschlusses ist. Das heißt, $G$ ist genau dann regulär offen, wenn $G=\operatorname {int} (\operatorname {cl} (G))$ gilt. Regulär offene Mengen werden auch kanonisch offene Mengen genannt.

Eigenschaften

• Alle regulär offenen Teilmengen eines topologischen Raums bilden zusammen mit der Halbordnung $\subseteq$ und den regulären Mengenoperationen $\cap ^{\ast }$, $\cup ^{\ast }$, $\mathrm {C} ^{\ast }$ eine vollständige boolesche Algebra.
• Jeder reguläre Raum $X$ ist auch halbregulär. Insbesondere bilden die regulär offenen Teilmengen eine Basis von $X$, aber nicht alle topologischen Räume, deren regulär offene Teilmengen eine Basis bilden, sind regulär.
• Jeder topologische Raum $X$ kann in einen halbregulären Raum eingebettet werden. Dazu betrachtet man die Menge $X\times I$, wobei $I$ das abgeschlossene Einheitsintervall $[0,1]$ ist, und erklärt darauf eine Topologie. Die offenen Mengen dieser Topologie sind für $(x,y)\in X\times I$ mit $y\neq 0$ für kleine positive $\epsilon$ durch $\{(x,z):y-\epsilon <z<y+\epsilon \}$ gegeben. Und für $(x,0)\in X\times I$ sind sie durch $\{(x',z):x'\in U,0\leq z<\epsilon _{U}\}$ gegeben, wobei $U$ eine offene Umgebung von $x\in X$ für alle $x'\in U$ und $\epsilon _{U}$ klein und positiv ist. Dieser Raum ist selbst halbregulär und $X$ ist eingebettet als abgeschlossener, nirgends dichter Unterraum.
• Aus der dritten Eigenschaft ist ersichtlich, dass Unterräume halbregulärer Räume im Allgemeinen nicht halbregulär sind.

Literatur

• Stephen Willard: General Topology. Dover Publications, Mineola NY u. a. 2004, ISBN 0-486-43479-6, Kap. 3D & 14E (englisch).