Hamiltonsche Gruppe

In der Gruppentheorie nennt man eine Gruppe dedekindsche Gruppe (nach Richard Dedekind), wenn jede Untergruppe ein Normalteiler ist. Offenbar ist jede abelsche Gruppe eine dedekindsche Gruppe. Die nicht-abelschen unter ihnen werden hamiltonsche Gruppen genannt (nach William Rowan Hamilton).

Die hamiltonschen Gruppen können nach einem auf Dedekind zurückgehenden Satz vollständig angegeben werden:

• Jede endliche hamiltonsche Gruppe $G$ ist von der Form $G\cong Q_{8}\times A\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}$, wobei
  • $Q_{8}$ die Quaternionengruppe ist,
  • $A$ eine abelsche Gruppe ungerader Ordnung ist
  • und $n\in \mathbb {N} _{0}$ ist.

Ist $n=0$, so fehlt der dritte Faktor. Die Gruppe $A$ kann einelementig sein, dann fehlt der zweite Faktor. Die Quaternionengruppe ist daher die kleinste hamiltonsche Gruppe und jede hamiltonsche Gruppe enthält einen zur Quaternionengruppe isomorphen direkten Faktor.

Demnach sind $Q_{8}\times Q_{8}$ und $Q_{8}\times \mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ keine hamiltonschen Gruppen. In der Tat sind $\{(q,q);q\in Q_{8}\}$ bzw. $\{(1,{\overline {0}}),(i,{\overline {1}}),(-1,{\overline {2}}),(-i,{\overline {3}})\}\,$ nicht-normale Untergruppen, wobei wie üblich $Q_{8}\,=\,\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$ und $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}$ sei.

Weblinks

• Richard Dedekind: Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind. In: Mathematische Annalen. Bd. 84, Nr. 4, 1897, S. 548–561, Digitalisat.