Hardy-Littlewood Maximalfunktion

In der Mathematik ist die Hardy-Littlewood-Maximalfunktion ein wichtiger nichtlinearer Operator, der in der reellen Analyse und der harmonischen Analyse verwendet wird. Sie stellt eine der zentralen Anwendungen des Interpolationssatzes von Marcinkiewicz dar.

Definition

Sei $f\in L_{}^{1}\left(\mathbb {R} ^{N}\right)$, dann definiert man die Hardy-Littlewood-Maximalfunktion $Mf:\mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R}$ durch

$Mf(x):=\sup _{\delta >0}\int \limits _{B_{\delta }(x)}|f(y)|dy$

Eigenschaften

• $A_{Mf}(t):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}\colon Mf(x)>t\right\}$ ist offen, was sich aus der Absolutstetigkeit des Integrals ergibt.
• $Mf$ ist offensichtlich sublinear, d. h. $M(f+g)(x)\leq Mf(x)+Mg(x)$.
• Ist $f\in L^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{N}\right)$, so gilt $Mf(x)\leqslant \|f\|_{L^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{N}\right)}$, d. h. $\operatorname {Mf} \in L^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{N}\right)$.
• $Mf:\mathbb {R} ^{N}\rightarrow [0,\infty ]$ ist messbar ($MF$ ist punktweise das Supremum von stetigen Funktionen), d. h. $Mf\in M\left(\mathbb {R} ^{N}\right)$.

Schwache L¹-Abschätzung der Maximalfunktion

Für $f\in L^{1}\left(\mathbb {R} ^{N}\right)$ und $t>0$ gilt:

$\lambda _{Mf}(t)=\left|\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:Mf(x)>t\right\}\right|\leqslant C(N){\frac {\|f\|_{L^{1}\left(\mathbb {R} ^{N}\right)}}{t}}$

mit einer nur von $N$ abhängigen Konstanten $C=C(N)$.

L^p-Abschätzung der Maximalfunktion

Für $1<p<\infty$ und $f\in L^{P}\left(\mathbb {R} ^{N}\right)$ gilt

$\|Mf\|_{L^{P}\left(\mathbb {R} ^{N}\right)}\leqslant C(n,p)\|f\|_{L^{P}\left(\mathbb {R} ^{N}\right)}$

Literatur

• Elias M. Stein and Rami Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press 2005, ISBN 0-691-11386-6
• Elias M. Stein: Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton University Press 1971
• Kinnunen J. The hardy-littlewood maximal function of a sobolev function. Isr. J. Math. 100, Seite 117–124, 1997