Plots der ersten fünf Hermiteschen Polynome Hn Die Hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite ) sind Polynome mit folgenden äquivalenten Darstellungen:
H
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
,
{\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}}\,,}
bzw.
H
n
(
x
)
=
e
x
2
/
2
(
x
−
d
d
x
)
n
e
−
x
2
/
2
.
{\displaystyle H_{n}(x)=e^{x^{2}/2}\,\left(x-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}\,e^{-x^{2}/2}\,.}
Die Hermiteschen Polynome (mit einem festen
n
{\displaystyle n}
Hermiteschen Differentialgleichung , einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:
H
n
″
(
x
)
−
2
x
⋅
H
n
′
(
x
)
+
2
n
⋅
H
n
(
x
)
=
0
(
n
=
0
,
1
,
2
,
…
)
.
{\displaystyle H_{n}''(x)-2\,x\cdot H_{n}'(x)+2\,n\cdot H_{n}(x)=0\qquad (n=0,1,2,\dots ).}
Aus der ersten Darstellung erhält man mit der Formel von Faà di Bruno die explizite Darstellung
H
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
∑
k
1
+
2
k
2
=
n
n
!
k
1
!
k
2
!
(
−
1
)
k
1
+
k
2
(
2
x
)
k
1
{\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k_{1}+2k_{2}=n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!}}(-1)^{k_{1}+k_{2}}(2x)^{k_{1}}}
also
H
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle H_{0}(x)=1}
H
1
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle H_{1}(x)=2x}
H
2
(
x
)
=
(
2
x
)
2
−
2
=
4
x
2
−
2
{\displaystyle H_{2}(x)=(2x)^{2}-2=4x^{2}-2}
H
3
(
x
)
=
(
2
x
)
3
−
6
(
2
x
)
=
8
x
3
−
12
x
{\displaystyle H_{3}(x)=(2x)^{3}-6(2x)=8x^{3}-12x}
H
4
(
x
)
=
(
2
x
)
4
−
12
(
2
x
)
2
+
12
=
16
x
4
−
48
x
2
+
12
{\displaystyle H_{4}(x)=(2x)^{4}-12(2x)^{2}+12=16x^{4}-48x^{2}+12}
Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen
(
n
∈
N
0
,
H
−
1
(
x
)
:=
0
)
{\displaystyle (n\in \mathbb {N} _{0},H_{-1}(x):=0)}
H
n
+
1
(
x
)
=
2
x
H
n
(
x
)
−
2
n
H
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle H_{n+1}(x)=2\,x\,H_{n}(x)-2\,n\,H_{n-1}(x)}
H
n
′
(
x
)
=
2
n
H
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle H_{n}'(x)=2\,n\,H_{n-1}(x)}
Da bei jedem Iterationsschritt ein
x
{\displaystyle x}
H
n
(
x
)
{\displaystyle H_{n}(x)}
n
{\displaystyle n}
x
n
{\displaystyle x^{n}}
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
n
{\displaystyle n}
x
{\displaystyle x}
n
{\displaystyle n}
H
n
(
−
x
)
=
(
−
1
)
n
⋅
H
n
(
x
)
{\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}\cdot H_{n}(x)}
ausdrücken lässt.
Die rekursive Darstellung der o. g. Hermiteschen Polynome lässt sich durch die einfache Substitution
n
′
=
n
+
1
{\displaystyle n'=n+1}
H
n
(
x
)
=
2
x
H
n
−
1
(
x
)
−
2
(
n
−
1
)
H
n
−
2
(
x
)
(
n
=
1
,
2
…
)
{\displaystyle H_{n}(x)=2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n=1,2\ldots )}
Die Hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion
e
−
x
2
{\displaystyle e^{-x^{2}}}
Orthogonalitätsrelation
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
⋅
H
n
(
x
)
⋅
H
m
(
x
)
d
x
=
2
n
⋅
n
!
⋅
π
⋅
δ
n
m
.
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\cdot H_{n}(x)\cdot H_{m}(x)\,dx=2^{n}\cdot n!\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \delta _{nm}.}
Das heißt, dass bestimmte reelle Funktionen nach den Hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können.
Eine erzeugende Funktion für die Hermite-Polynome ist
F
(
x
,
t
)
=
e
2
x
t
−
t
2
=
∑
n
=
0
∞
t
n
n
!
H
n
(
x
)
{\displaystyle F(x,t)=e^{2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}H_{n}(x)}
Plots der ersten fünf hermiteschen Polynome Hen (Statistiker-Konvention) Eine andere Definitionsmöglichkeit der Hermiteschen Polynome (Statistiker-Konvention) ist
H
e
n
(
x
)
=
2
−
n
/
2
H
n
(
x
/
2
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
/
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
/
2
.
{\displaystyle He_{n}(x)=2^{-n/2}H_{n}(x/{\sqrt {2}})=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}/2}.}
Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion
e
−
x
2
/
2
{\displaystyle e^{-x^{2}/2}}
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
/
2
H
e
n
(
x
)
H
e
m
(
x
)
d
x
=
2
π
n
!
δ
m
n
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}\,He_{n}(x)\,He_{m}(x)\,dx={\sqrt {2\,\pi }}\,n!\,\delta _{mn}}
und erfüllen die Differentialgleichung
y
″
−
x
y
′
+
n
y
=
0.
{\displaystyle y''-x\,y'+n\,y=0.}
Sie lassen sich rekursiv durch
H
e
n
+
1
(
x
)
=
x
H
e
n
(
x
)
−
n
H
e
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle He_{n+1}(x)=x\,He_{n}(x)-n\,He_{n-1}(x)}
bestimmen.
Für die Hermiteschen Polynome gilt eine Formel, die eine ähnliche Gestalt hat wie der binomische Lehrsatz . Für
a
2
+
b
2
=
1
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}
H
n
(
a
x
+
b
y
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
k
b
n
−
k
H
k
(
x
)
H
n
−
k
(
y
)
.
{\displaystyle H_{n}(ax+by)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}H_{k}(x)H_{n-k}(y).}
Die Ableitung der komplementären Fehlerfunktion
1
−
erf
(
x
)
=
erfc
(
x
)
{\displaystyle 1-\operatorname {erf} (x)=\operatorname {erfc} (x)}
d
d
x
erfc
(
x
)
=
−
2
π
e
−
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {erfc} (x)=-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}}
Damit kann die Darstellung der Hermiteschen Polynome auch folgendermaßen geschrieben werden:[ 1]
H
n
(
x
)
=
π
2
(
−
1
)
(
n
+
1
)
e
x
2
d
n
+
1
d
x
n
+
1
erfc
(
x
)
{\displaystyle H_{n}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}(-1)^{(n+1)}e^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n+1}}{\mathrm {d} x^{n+1}}}\operatorname {erfc} (x)}
sodass man für
n
=
−
1
{\displaystyle n=-1}
H
−
1
(
x
)
=
π
2
e
x
2
erfc
(
x
)
{\displaystyle H_{-1}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)}
Die Funktionen höherer Indizes berechnen sich als:
H
n
−
1
(
x
)
=
(
−
1
)
n
2
−
n
(
−
n
)
!
d
−
n
d
x
−
n
H
−
1
(
x
)
{\displaystyle H_{n-1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{-n}(-n)!}}{\frac {\mathrm {d} ^{-n}}{\mathrm {d} x^{-n}}}H_{-1}(x)}
H
n
−
1
(
x
)
=
1
2
n
H
n
′
(
x
)
{\displaystyle H_{n-1}(x)={\frac {1}{2n}}H_{n}'(x)}
n
=
(
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
)
{\displaystyle n=(-1,-2,-3,\dotsc )}
Die so erhaltenen Funktionen genügen wie die Polynome mit positivem Index der hermiteschen Differentialgleichung.
Sie lauten:
H
−
1
(
x
)
=
1
2
π
e
x
2
erfc
(
x
)
{\displaystyle H_{-1}(x)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)}
H
−
2
(
x
)
=
1
2
(
1
−
x
π
e
x
2
erfc
(
x
)
)
{\displaystyle H_{-2}(x)={\tfrac {1}{2}}(1-x{\sqrt {\pi }}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x))}
H
−
3
(
x
)
=
1
8
(
−
2
x
+
(
1
+
2
x
2
)
π
e
x
2
erfc
(
x
)
)
{\displaystyle H_{-3}(x)={\tfrac {1}{8}}(-2x+(1+2x^{2}){\sqrt {\pi }}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x))}
…
{\displaystyle \ldots }
Ihre Bedeutung erhalten die Hermite-Polynome durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des
quantenmechanischen
harmonischen Oszillators benötigt.
Diese entsprechen den Hermiteschen Funktionen , die man
durch Multiplikation mit der gaußschen Normalverteilung
und geeigneter Normierung erhält.
Eine weitere Anwendung finden sie in der Finite-Elemente-Methode als Formfunktionen.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der nicht-zentralen Studentschen t-Verteilung lässt sich ausdrücken mittels Hermitescher Polynomfunktionen, deren Index negative Werte hat.
↑ Eric W. Weisstein : Hermite Polynomial .MathWorld 
