Hilbertwürfel

Der Hilbertwürfel, auch Hilbertquader oder hilbertscher Fundamentalquader genannt, englisch Hilbert cube, ist ein nach dem Mathematiker David Hilbert benannter topologischer Raum, der den aus dem Anschauungsraum bekannten Würfel $[0,1]^{3}$ auf unendlich viele Dimensionen verallgemeinert.

Definition

Der Hilbertwürfel $W$ ist der Produktraum $[0,1]^{\aleph _{0}}$, versehen mit der Produkttopologie. Das bedeutet im Einzelnen:

• $W$ ist die Menge aller Folgen $x=(\xi _{n})_{n}$ mit $0\leq \xi _{n}\leq 1$ für alle $n$.
• Eine Folge $(x_{m})_{m}$ in $W$, wobei $x_{m}=(\xi _{n}^{(m)})_{n}$, konvergiert genau dann gegen ein $x=(\xi _{n})_{n}\in W$, wenn $\lim _{m\to \infty }\xi _{n}^{(m)}=\xi _{n}$ für alle Indizes $n\in \mathbb {N}$.

Eigenschaften

• Der Hilbertwürfel ist zusammenhängend und wegzusammenhängend, denn diese Eigenschaften übertragen sich auf Produkträume.
• Der Hilbertwürfel ist ein kompakter Hausdorffraum, wie unmittelbar aus dem Satz von Tychonoff folgt.
• Der Hilbertwürfel ist metrisierbar, eine die Topologie definierende Metrik ist durch

$d((\xi _{n})_{n},(\eta _{n})_{n}):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\xi _{n}-\eta _{n}|}{2^{n}}}$

gegeben.

• Wie alle kompakten, metrisierbaren Räume ist der Hilbertwürfel separabel und genügt dem Zweiten Abzählbarkeitsaxiom (und damit auch dem Ersten Abzählbarkeitsaxiom). Hierbei ist die Menge

$D=\{(\xi _{n})_{n}\in W;\,\xi _{n}\in \mathbb {Q} {\mbox{ und }}\xi _{n}=0{\mbox{ für fast alle }}n\}$

eine abzählbare dichte Teilmenge von $W$. Die Menge aller ${\tfrac {1}{m}}$-Kugeln (bzgl. obiger Metrik) um die Punkte aus $D$ ist dann eine abzählbare Basis.

• Die lebesgue'sche Überdeckungsdimension des Hilbertwürfels $W$ ist unendlich, denn für jedes $m$ enthält der Hilbertwürfel den zu $[0,1]^{m}$ homöomorphen Unterraum $W_{m}:=\{(\xi _{n})_{n}\in W;\,\xi _{n}=0{\mbox{ für alle }}n>m\}$, muss daher eine Dimension $\geq m$ haben für alle $m\in \mathbb {N}$ und das heißt $\dim W=\infty$.

Universelle Eigenschaft

Kompakte Räume mit abzählbarer Basis

Der Hilbertwürfel $W$ ist nach obigen Eigenschaften ein kompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis. $W$ ist universell bzgl. dieser Eigenschaften in dem Sinne, dass er von jedem solchen Raum eine Kopie enthält. Es gilt:

• Jeder kompakte Hausdorffraum mit abzählbarer Basis ist homöomorph zu einem abgeschlossenen Unterraum des Hilbertwürfels.

Polnische Räume

Auch polnische Räume lassen sich in den Hilbertwürfel einbetten. Es gilt:

• Die polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die $G_{\delta }$-Mengen im Hilbertwürfel.
• Die kompakten, polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die abgeschlossenen Mengen im Hilbertwürfel.

Der Hilbertwürfel im l²

Eine homöomorphe Kopie des Hilbertwürfels findet sich im Hilbertraum $\ell ^{2}$ der quadratsummierbaren Folgen. Definiere

${\tilde {W}}:=\{(\xi _{n})_{n}\in \ell ^{2};\,|\xi _{n}|\leq {\tfrac {1}{n}}{\mbox{ für alle }}n\}$.

Dann ist $\textstyle \varphi \colon W\rightarrow {\tilde {W}},(\xi _{n})_{n}\mapsto ({\frac {2\xi _{n}-1}{n}})_{n}$ ein Homöomorphismus, wenn man ${\tilde {W}}$ mit der Teilraumtopologie der Normtopologie des Hilbertraums $\ell ^{2}$ versieht. Beachte, dass ${\tilde {W}}$ keine Nullumgebung in $\ell ^{2}$ ist, denn ${\tilde {W}}$ enthält keine Normkugel. Ferner fallen auf ${\tilde {W}}$ die relative Normtopologie und die relative schwache Topologie zusammen.

Alternative Definitionen des Hilbertwürfels wären $\textstyle W:=\prod _{n=1}^{\infty }[0,{\frac {1}{2^{n}}}]$ oder $\textstyle W:=\prod _{n=1}^{\infty }[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}]$ oder $\textstyle W:=\prod _{n=1}^{\infty }[0,{\frac {1}{n}}]$, versehen mit der Produkttopologie. Bei einer solchen Definition wäre $W$ selbst eine Teilmenge des Hilbertraums $\ell ^{2}$. Die erste Variante wird in verwendet, dort spricht der Autor wegen der unterschiedlichen Seitenlängen auch nicht vom Hilbertwürfel, sondern vom Hilbertquader, ebenso in , wo die dritte Variante zur Definition herangezogen wird.

Literatur

• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970 (MR0264581).