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Die hillschen Gleichungen (nach George William Hill (1838–1914)) beschreiben Bahnänderungen eines Satelliten innerhalb des mitrotierenden Bezugssystems. Mit ihnen lässt sich berechnen, welchen weiteren Verlauf (Bahn und Geschwindigkeit) ein Satellit nimmt, wenn man seine Geschwindigkeit verändert.
Sie sind die Lösung des gekoppelten Gleichungssystems:
x
¨
+
2
ω
z
˙
=
b
x
{\displaystyle {\ddot {x}}+2\omega {\dot {z}}=b_{x}}
y
¨
+
ω
2
y
=
b
y
{\displaystyle {\ddot {y}}+\omega ^{2}y=b_{y}}
z
¨
−
2
ω
x
˙
−
3
ω
2
z
=
b
z
{\displaystyle {\ddot {z}}-2\omega {\dot {x}}-3\omega ^{2}z=b_{z}}
x
(
ω
,
t
)
=
(
x
0
−
2
z
˙
0
ω
)
+
2
z
˙
0
ω
cos
ω
t
+
(
6
z
0
+
4
x
˙
0
ω
)
sin
ω
t
−
(
6
z
0
+
3
x
˙
0
ω
)
ω
t
{\displaystyle x(\omega ,t)=\left({x_{0}-2{\frac {{\dot {z}}_{0}}{\omega }}}\right)+2{\frac {{\dot {z}}_{0}}{\omega }}\cos \omega t+\left({6z_{0}+4{\frac {{\dot {x}}_{0}}{\omega }}}\right)\sin \omega t-\left({6z_{0}+3{\frac {{\dot {x}}_{0}}{\omega }}}\right)\omega t}
z
(
ω
,
t
)
=
(
4
z
0
+
2
x
˙
0
ω
)
+
z
˙
0
ω
sin
ω
t
−
(
3
z
0
+
2
x
˙
0
ω
)
cos
ω
t
{\displaystyle z(\omega ,t)=\left({4z_{0}+2{\frac {{\dot {x}}_{0}}{\omega }}}\right)+{\frac {{\dot {z}}_{0}}{\omega }}\sin \omega t-\left({3z_{0}+2{\frac {{\dot {x}}_{0}}{\omega }}}\right)\cos \omega t}
x
˙
(
ω
,
t
)
=
−
3
x
˙
0
−
6
ω
z
0
−
2
z
˙
0
sin
ω
t
+
(
6
ω
z
0
+
4
x
˙
0
)
cos
ω
t
{\displaystyle {\dot {x}}(\omega ,t)=-3{\dot {x}}_{0}-6\omega z_{0}-2{\dot {z}}_{0}\sin \omega t+\left({6\omega z_{0}+4{\dot {x}}_{0}}\right)\cos \omega t}
z
˙
(
ω
,
t
)
=
(
3
ω
z
0
+
2
x
˙
0
)
sin
ω
t
+
z
˙
0
cos
ω
t
{\displaystyle {\dot {z}}(\omega ,t)=\left({3\omega z_{0}+2{\dot {x}}_{0}}\right)\sin \omega t+{\dot {z}}_{0}\cos \omega t}
Bahnänderung eines Satelliten bei radialer Geschwindigkeitsänderung
Ein radiales Manöver führt zu einer Ellipse mit dem Verhältnis 1:2 .
Anfangsbedingungen :
Position:
(
x
;
z
)
=
(
0
;
0
)
{\displaystyle (x;z)=(0;0)}
Geschwindigkeit:
(
x
˙
;
z
˙
)
=
(
0
;
Δ
v
)
{\displaystyle ({\dot {x}};{\dot {z}})=(0;\Delta v)}
Bahngleichungen :
x
=
2
Δ
v
ω
(
cos
ω
t
−
1
)
{\displaystyle x=2{\frac {\Delta v}{\omega }}\left({\cos \omega t-1}\right)}
z
=
Δ
v
ω
sin
ω
t
{\displaystyle z={\frac {\Delta v}{\omega }}\sin \omega t}
Bahnänderung eines Satelliten bei tangentialer Geschwindigkeitsänderung
Ein tangentiales Manöver führt zu einer Zykloidenförmigen Bahn.
Anfangsbedingungen :
Position:
(
x
;
z
)
=
(
0
;
0
)
{\displaystyle (x;z)=(0;0)}
Geschwindigkeit:
(
x
˙
;
z
˙
)
=
(
Δ
v
;
0
)
{\displaystyle ({\dot {x}};{\dot {z}})=(\Delta v;0)}
Bahngleichungen :
x
=
4
Δ
v
ω
sin
ω
t
−
3
Δ
v
⋅
t
{\displaystyle x=4{\frac {\Delta v}{\omega }}\sin \omega t-3\Delta v\cdot t}
z
=
2
Δ
v
ω
(
1
−
cos
ω
t
)
{\displaystyle z=2{\frac {\Delta v}{\omega }}\left({1-\cos \omega t}\right)}
x
˙
1
=
−
3
x
˙
0
+
4
x
˙
0
cos
ω
t
{\displaystyle {\dot {x}}_{1}=-3{\dot {x}}_{0}+4{\dot {x}}_{0}\cos \omega t}
Nach einem halben Umlauf bewegt sich der Satellit im mitrotierenden Bezugssystem mit siebenfachen
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
in die Gegenrichtung:
x
˙
1
(
t
=
T
2
)
=
−
3
Δ
v
−
4
Δ
v
=
−
7
Δ
v
{\displaystyle {\dot {x}}_{1}\left({t={\frac {T}{2}}}\right)=-3\Delta v-4\Delta v=-7\Delta v}
Durchführung des Hohmannübergang mit zwei Manövern
Beim Hohmannübergang werden zwei tangentiale Manöver ausgeführt.
Siehe auch: Hillsche Differentialgleichung (Dreikörperproblem)