Holomorphes quadratisches Differential

In der Mathematik werden holomorphe quadratische Differentiale verwendet, um Deformationen komplexer Strukturen auf Riemannschen Flächen zu beschreiben.

Sei $\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}$ eine Riemannsche Fläche. Ein holomorphes quadratisches Differential $\phi$ ist eine holomorphe Funktion ${\tilde {\phi }}\colon \mathbb {H} ^{2}\to \mathbb {C}$, so dass für alle $\gamma \in \Gamma$

${\tilde {\phi }}(\gamma (z))(\gamma ^{\prime }(z))^{2}={\tilde {\phi }}(z)$

für alle $z\in \mathbb {H} ^{2}$ gilt.

Diese Transformationsregel bedeutet, dass der Tensor ${\tilde {\phi }}(z)dz^{2}$ invariant unter der Wirkung von $\Gamma$ ist. Insbesondere ist $\vert {\tilde {\phi }}(z)\vert \vert dz^{2}\vert$ invariant und definiert ein Maß auf $X=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}$. Wenn das Maß von $X$ endlich ist, heißt $\phi$ integrabel. Der Banach-Raum integrabler holomorpher quadratischer Differentiale mit der $L^{1}$-Norm wird mit $\Omega (\Gamma )$ bezeichnet. Wenn $\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}$ endliches hyperbolisches Volumen hat, dann ist $\dim _{\mathbb {C} }(\Omega (\Gamma ))=3g-3+n$, wobei $g$ das Geschlecht und $n$ die Anzahl der Punktierungen ist. Wenn $\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}$ unendliches hyperbolisches Volumen hat, dann ist $\dim(\Omega (\Gamma ))=\infty$. Man kann $\Omega (\Gamma )$ als Tangentialraum des Teichmüller-Raumes interpretieren.

Literatur

• J.-P. Otal: Thurston’s hyperbolization of Haken manifolds. Hsiung, C. C. (ed.) et al., Surveys in differential geometry. Vol. III. A supplement to the Journal of Differential Geometry. Lectures on geometry and topology in honor of the 80th birthday of Chuan-Chih Hsiung, Harvard University, Cambridge, MA, USA, May 3-5, 1996. Boston, MA: International Press. 77-194 (1998).