Homogene lineare Differentialgleichungen sind eine wichtige Klasse linearer Differentialgleichungen. Es handelt sich um Differentialgleichungen der Form
Hierbei sind die vorgegebene Funktionen, etwa auf einem Intervall, und das hochgestellte steht für die -te Ableitung nach der Variablen . Gesucht ist eine Funktion , die obige Gleichung für alle auf einem vorgegebenen Definitionsbereich erfüllt.
Die homogene lineare Differentialgleichung
mit Anfangswert hat die eindeutige Lösung
- .
Für den Fall, dass a konstant ist:
- .
Zu einer Differentialgleichung
mit betrachtet man ihr „charakteristisches Polynom“ . Dieses habe die Nullstellen mit zugehörigen Vielfachheiten . Dann sind alle Lösungen von der Form
mit Koeffizienten .
Durch die Substitution lässt sich die homogene lineare Differentialgleichung
in das lineare Differentialgleichungssystem
überführen. Die Lösungen dieses linearen homogenen Differentialgleichungssystems bilden einen Vektorraum. Eine Basis dieses Vektorraums wird als Fundamentalsystem bezeichnet.
- Die Lösung des Anfangswertproblems ist .
- Die Differentialgleichung hat das charakteristische Polynom und damit die Lösungen .