Homogenes Polynom

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Ein (multivariables) Polynom heißt homogen, falls alle Monome, aus denen das Polynom besteht, den gleichen Grad haben. Homogene Polynome werden auch als Formen bezeichnet.

Sei ein kommutativer Ring mit Eins und der Polynomring über in Unbestimmten. Ein Monom ist dann ein Polynom , für das ein mit

existiert. Der Grad dieses Monoms ist

Ein Polynom in wird homogen genannt, wenn es eine Summe von Monomen gleichen Grades ist.

  • ist genau dann homogen vom Grad , wenn in gilt:[1]
  • Seien ein Integritätsring und mit . Dann gilt die Implikation
    und sind homogen ist homogen.
  • Fordert man zusätzlich , ist sogar die Äquivalenz erfüllt:
    und sind homogen ist homogen.
  • Jedes Monom ist homogen.
  • Die Menge aller homogenen Polynome in , dem Polynomring in einer Variablen über , ist gegeben durch
  • Einfache Beispiele für homogene Polynome in (siehe ganze Zahlen):
    • ist homogen wegen
    • ist homogen wegen
  • Beispiele für nicht-homogene Polynome in (siehe rationale Zahlen):
    • ist nicht homogen wegen
    • ist nicht homogen wegen und

Jedes Polynom lässt sich auf eindeutige Weise als Summe von homogenen Polynomen verschiedenen Grades schreiben, indem man alle Monome gleichen Grades zusammenfasst. Der Polynomring lässt sich also als eine direkte Summe schreiben:

wobei

die Menge der homogenen Polynome vom Grad zusammen mit dem Nullpolynom ist. Es gilt

der Polynomring ist also ein graduierter Ring.

Verallgemeinerung

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Allgemein heißen in einem graduierten Ring

die Elemente aus homogen vom Grad .

Einzelnachweise

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  1. Fischer: Lehrbuch der Algebra. 2013, S. 169, Lemma.