Hopf-Verschlingung
In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Hopf-Verschlingung (auch Hopf-Link) das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise.
Hopf-Verschlingung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Hopf-Verschlingung ist eine Verschlingung bestehend aus zwei Unknoten (d. h. unverknoteten Kreisen), deren Verschlingungszahl (je nach Orientierung) plus oder minus 1 beträgt.
Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im durch und parametrisierten Kreise.
Topologie des Komplements
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das Komplement der Hopf-Verschlingung in der 3-Sphäre ist homöomorph zu . Die Linkgruppe, also die Fundamentalgruppe des Komplements, ist isomorph zu , der freien abelschen Gruppe mit zwei Erzeugern.
Invarianten
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das Jones-Polynom ist
- ,
das HOMFLY-Polynom ist
- ,
die Hopf-Verschlingung ist der -Torus-Link und sie ist der Abschluss des Zopfes .
Hopf-Faserung und Homotopiegruppen, Hopf-Invariante
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Heinz Hopf untersuchte 1931 die Hopf-Faserung
und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.
Allgemein definierte er für Abbildungen die heute als Hopf-Invariante bezeichnete Invariante als Verschlingungszahl der Urbilder zweier regulärer Werte von und er bewies, dass die Zuordnung
einen Isomorphismus
ergibt.
Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Die Hopf-Verschlingung wird von der dem Shingon-shū zuzuordnenden buddhistischen Sekte Buzan-ha als Symbol verwendet.
- Catenane stellen eine Hopf-Verschlingung dar.
- Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers Keizo Ushio vor.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Heinz Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104 (1931), 637–665 (PDF)
- Colin Adams: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag (1995). ISBN 978-3860253380
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Hopf Link auf MathWorld
- Topology of a Twisted Torus Numberphile (Video)