Horozyklischer Fluss

In der Mathematik ist der horozyklische Fluss ein Beispiel eines algebraisch beschreibbaren chaotischen dynamischen Systems.

Definition

Es sei $F$ eine hyperbolische Fläche, also eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Form

$F=\Gamma \backslash H^{2}$,

wobei $H^{2}$ die hyperbolische Ebene und $\Gamma \subset \operatorname {Isom} (H^{2})$ eine diskrete Gruppe von Isometrien ist.

Das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene, verschiedene im selben Punkt endende Geodäten (in rot) und ein zugehöriger Horozykel (in blau).

Betrachte die hyperbolische Ebene $H^{2}$ und ihr Einheitstangentialbündel $T^{1}H^{2}$. Die Wirkung der Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien

$\mathrm {Isom} ^{+}(H^{2})\simeq {PSL}(2,\mathbb {R} )$

auf $T^{1}H^{2}$ induziert eine Bijektion zwischen $PSL(2,\mathbb {R} )$ und $T^{1}H^{2}$. Wir betrachten die Wirkung von $PSL(2,\mathbb {R} )$ auf $T^{1}H^{2}=PSL(2,\mathbb {R} )$ als Linkswirkung. Dann entspricht der horozyklische Fluss $\Psi _{t}$ der Rechtswirkung von $\left({\begin{array}{cc}1&t\\0&1\end{array}}\right)$ auf $PSL(2,\mathbb {R} )$.

Diese Rechtswirkung $\Psi _{t}$ kommutiert mit der Linkswirkung von $\Gamma$, induziert also eine wohldefinierte Wirkung $\Psi _{t}$ auf dem Einheitstangentialbündel

$T^{1}F=\Gamma \backslash T^{1}H^{2}$,

die als horozyklischer Fluss bezeichnet wird.

Die Orbits des horozyklischen Flusses sind die Projektionen auf die Fläche $F$ der Einschränkungen des Einheitstangentialbündels $T^{1}H^{2}$ auf den Horozykeln in der hyperbolischen Ebene.

Eigenschaften

Wechselwirkung mit anderen Flüssen

Eine häufig verwendete Eigenschaft des horozyklischen Flusses ist seine Wechselwirkung mit dem geodätischen Fluss $\Phi _{t}$. Es gilt

$\Phi _{s}\Psi _{t}\Phi _{-s}=\Psi _{e^{2s}t}$

für alle $s,t\in \mathbb {R}$. Insbesondere sind die Orbits des horozyklischen Flusses die stabilen Mannigfaltigkeiten des geodätischen Flusses.

Häufig wird auch der sogenannte negative horozyklische Fluss $\Psi _{t}^{-}$ betrachtet, dessen Wirkung auf $T^{1}H^{2}=PSL(2,\mathbb {R} )$ durch die Rechts-Wirkung von $\left({\begin{array}{cc}1&0\\t&1\end{array}}\right)$ auf $PSL(2,\mathbb {R} )$ gegeben ist. Für diesen gilt

$\Phi _{s}\Psi _{t}^{-}\Phi _{-s}=\Psi _{e^{-2s}t}^{-}$,

seine Orbits sind die unstabilen Mannigfaltigkeiten des geodätischen Flusses.

Kompakte Flächen

Wenn $F$ kompakt ist, dann ist der horozyklische Fluss minimal, ergodisch bzgl. des Liouville-Maßes (welches im Fall hyperbolischer Flächen mit dem Bild des Haar-Maßes unter der Projektion $PSL(2,\mathbb {R} )=T^{1}H^{2}\to T^{1}F$ übereinstimmt) und sogar eindeutig ergodisch, d. h. jedes Fluss-invariante Maß ist ein skalares Vielfaches des Liouville-Maßes. Insbesondere sind alle Orbits gleichverteilt bzgl. des Liouville-Maßes.

Nichtkompakte Flächen endlichen Volumens

Wenn $F$ endliches Volumen (bzgl. des Haar-Maßes) hat, aber nicht kompakt ist, dann hat man periodische Orbits (entsprechend den geschlossenen Horozykeln um die Spitzen von $F$), aber mit Ausnahme der Linearkombinationen von Dirac-Maßen auf diesen periodischen Orbits sind die skalaren Vielfachen des Liouville-Maßes wieder die einzigen Fluss-invarianten Maße und alle nichtperiodischen Orbits sind gleichverteilt bzgl. des Liouville-Maßes.

Literatur

• Ghys, Étienne: Dynamique des flots unipotents sur les espaces homogènes. Séminaire Bourbaki, Vol. 1991/92. Astérisque No. 206 (1992), Exp. No. 747, 3, 93–136.
• Morris, Dave Witte: Ratner's theorems on unipotent flows. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2005. ISBN 0-226-53983-0; 0-226-53984-9