Hyperbolisch eingebettete Untergruppe

In der geometrischen Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist der Begriff der hyperbolisch eingebetteten Familien von Untergruppen eine Verallgemeinerung der peripheralen Struktur relativ hyperbolischer Gruppen.

Definition

Sei $G$ eine Gruppe. Eine Familie von Untergruppen $\left\{H_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }$ heißt hyperbolisch eingebettet, wenn es eine Teilmenge $X\subset G$ gibt, so dass gilt

• die Menge $X\cup \bigcup _{\lambda \in \Lambda }H_{\lambda }$ ist ein Erzeugendensystem von $G$ und der zugehörige Cayley-Graph $\Gamma (G,X\sqcup {\mathcal {H}})$ (mit der disjunkten Vereinigung ${\mathcal {H}}=\bigsqcup H_{\lambda }$) ist hyperbolisch, und
• für jedes $\lambda \in \Lambda$ ist $(H_{\lambda },{\hat {d}}_{\lambda })$ ein eigentlicher metrischer Raum.

Dabei ist die Metrik $d_{\lambda }$ auf $H_{\lambda }$ definiert als die Länge kürzester Wege in $\Gamma (G,X\cup {\mathcal {H}})$, die keine Kanten des Cayley-Graphen $\Gamma (H_{\lambda },H_{\lambda })$ enthalten.

Man sagt in diesem Fall auch, dass $H$ in $(G,X)$ hyperbolisch eingebettet ist.

Beispiele

• Für jede Gruppe $G$ ist $G$ hyperbolisch eingebettet in $G$. Man kann $X=\emptyset$ nehmen.
• Sei $G=H\times \mathbb {Z}$ und $X=\left\{1\right\}$ ein Erzeuger von $\mathbb {Z}$. Dann ist $\Gamma (G,X\sqcup H)$ quasi-isometrisch zu $\mathbb {R}$ und deshalb hyperbolisch. Jedoch ist ${\hat {d}}(h_{1},h_{2})\leq 3$ für alle $H_{1},h_{2}\in H$. Wenn $H$ unendlich ist, ist $H$ damit nicht in $(G,X)$ hyperbolisch eingebettet.
• Sei $G=H*\mathbb {Z}$ und $X=\left\{1\right\}$ ein Erzeuger mit $\mathbb {Z}$. Dann ist $\Gamma (G,X\sqcup H)$ quasi-isometrisch zu einem Baum und ${\hat {d}}(h_{1},h_{2})=\infty$ für alle $h_{1}\not =h_{2}$. Damit ist $H$ in $(G,X)$ hyperbolisch eingebettet.
• Nach einem Satz von Dahmani-Guirardel-Osin ist $G$ genau dann hyperbolisch relativ zu $\left\{H_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }$, wenn es eine endliche Teilmenge $X\subset G$ gibt so, dass $\left\{H_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }$ hyperbolisch in $(G,X)$ eingebettet ist.

Literatur

• F. Dahmani, V. Guirardel, D. Osin: Hyperbolically embedded subgroups and rotating families in groups acting on hyperbolic spaces. Mem. Amer. Math. Soc. 1156, 2016