Sinus hyperbolicus (rot) Kosekans hyperbolicus (rot) Die Hyperbelfunktionen sind die korrespondierenden Funktionen der trigonometrischen Funktionen (die auch als Winkel- oder Kreisfunktionen bezeichnet werden),
allerdings nicht am Einheitskreis
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
Einheitshyperbel
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
Wie eng diese Funktionen miteinander verwandt sind, erschließt sich noch deutlicher in der komplexen Zahlenebene. Sie wird durch die Relation
(
i
y
)
2
=
−
y
2
{\displaystyle (\mathrm {i} y)^{2}=-y^{2}}
cos
(
i
x
)
=
cosh
x
{\displaystyle \cos(\mathrm {i} x)=\cosh x}
Folgende Funktionen gehören zu den Hyperbelfunktionen :
Hyperbelsinus oder lat. Sinus hyperbolicus (Formelzeichen:
sinh
{\displaystyle \sinh }
Hyperbelkosinus oder lat. Cosinus hyperbolicus (
cosh
{\displaystyle \cosh }
Hyperbeltangens oder lat. Tangens hyperbolicus (
tanh
{\displaystyle \tanh }
Hyperbelkotangens oder lat. Cotangens hyperbolicus (
coth
{\displaystyle \coth }
Hyperbelsekans oder lat. Sekans hyperbolicus (
sech
{\displaystyle \operatorname {sech} }
Hyperbelkosekans oder lat. Kosekans hyperbolicus (
csch
{\displaystyle \operatorname {csch} }
In der deutschen und der holländischen Sprache werden noch sehr häufig die lateinischen Namen verwendet, mit teils eingedeutschter Schreibweise.
Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind für alle komplexen Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph . Die übrigen Hyperbelfunktionen haben Pole auf der imaginären Achse.
Eine Gerade aus dem Ursprung schneidet die Hyperbel
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
(
cosh
A
,
sinh
A
)
{\displaystyle (\cosh A,\sinh A)}
A
{\displaystyle A}
x
{\displaystyle x}
Mittels der Exponentialfunktion können
sinh
{\displaystyle \sinh }
cosh
{\displaystyle \cosh }
sinh
(
z
)
:=
e
z
−
e
−
z
2
{\displaystyle \sinh(z):={\frac {\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}{2}}}
cosh
(
z
)
:=
e
z
+
e
−
z
2
{\displaystyle \cosh(z):={\frac {\mathrm {e} ^{z}+\mathrm {e} ^{-z}}{2}}}
Daher sind die hyperbolischen Funktionen periodisch (mit rein imaginärer Periode).
Die Potenzreihen von
cosh
{\displaystyle \cosh }
sinh
{\displaystyle \sinh }
sinh
(
z
)
=
z
+
z
3
3
!
+
z
5
5
!
+
z
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
cosh
(
z
)
=
1
+
z
2
2
!
+
z
4
4
!
+
z
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
z
2
n
(
2
n
)
!
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(z)&=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+{\frac {z^{7}}{7!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cosh(z)&=1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}\,,\end{aligned}}}
wobei der Ausdruck
n
!
{\displaystyle n!}
Fakultät von
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
natürlichen Zahlen steht. Im Gegensatz zu den Potenzreihenentwicklungen von
cos
{\displaystyle \cos }
sin
{\displaystyle \sin }
Wegen ihrer Verwendung zur Parametrisierung der Einheitshyperbel
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
x
=
cosh
(
t
)
,
y
=
sinh
(
t
)
{\displaystyle x=\cosh(t),y=\sinh(t)}
werden sie Hyperbelfunktionen genannt, in Analogie zu den Kreisfunktionen Sinus und Kosinus, die den Einheitskreis
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
x
=
cos
(
t
)
,
y
=
sin
(
t
)
{\displaystyle x=\cos(t),y=\sin(t)}
Die Funktionen stellen eine Verbindung her zwischen der Fläche
A
{\displaystyle A}
x
{\displaystyle x}
Dabei ist
sinh
(
A
)
{\displaystyle \sinh(A)}
y
{\displaystyle y}
cosh
(
A
)
{\displaystyle \cosh(A)}
x
{\displaystyle x}
tanh
(
A
)
{\displaystyle \tanh(A)}
y
{\displaystyle y}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
Berechnet man die Fläche durch Integration , erhält man die Darstellung mit Hilfe der Exponentialfunktion.
Graph der reellen Hyperbelfunktionen Für alle reellen Zahlen
x
{\displaystyle x}
sinh
(
x
)
{\displaystyle \sinh(x)}
cosh
(
x
)
{\displaystyle \cosh(x)}
Die reelle Funktion
sinh
{\displaystyle \sinh }
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Die reelle Funktion
cosh
{\displaystyle \cosh }
(
−
∞
,
0
]
{\displaystyle (-\infty ,0]}
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
streng monoton steigend und besitzt bei
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Wegen
sinh
,
cosh
:
R
↦
R
{\displaystyle \sinh ,\cosh \colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} }
Für alle komplexen Zahlen
z
,
z
1
,
z
2
{\displaystyle z,z_{1},z_{2}}
sinh
(
−
z
)
=
−
sinh
(
z
)
{\displaystyle \sinh(-z)=-\sinh(z)}
ungerade Funktion .
cosh
(
z
)
=
cosh
(
−
z
)
{\displaystyle \cosh(z)=\cosh(-z)}
sinh
(
z
)
=
sinh
(
z
+
2
π
i
)
und
cosh
(
z
)
=
cosh
(
z
+
2
π
i
)
{\displaystyle \sinh(z)=\sinh(z+2\pi \mathrm {i} )\quad {\text{ und }}\quad \cosh(z)=\cosh(z+2\pi \mathrm {i} )}
d. h., es liegt rein „imaginäre Periodizität“ vor mit minimaler Periodenlänge
2
π
{\displaystyle 2\pi }
sinh
(
z
1
±
z
2
)
=
sinh
(
z
1
)
⋅
cosh
(
z
2
)
±
sinh
(
z
2
)
⋅
cosh
(
z
1
)
{\displaystyle \sinh(z_{1}\pm z_{2})=\sinh(z_{1})\cdot \cosh(z_{2})\pm \sinh(z_{2})\cdot \cosh(z_{1})}
cosh
(
z
1
±
z
2
)
=
cosh
(
z
1
)
⋅
cosh
(
z
2
)
±
sinh
(
z
1
)
⋅
sinh
(
z
2
)
{\displaystyle \cosh(z_{1}\pm z_{2})=\cosh(z_{1})\cdot \cosh(z_{2})\pm \sinh(z_{1})\cdot \sinh(z_{2})}
tanh
(
z
1
±
z
2
)
=
tanh
(
z
1
)
±
tanh
(
z
2
)
1
±
tanh
(
z
1
)
tanh
(
z
2
)
{\displaystyle \tanh(z_{1}\pm z_{2})={\frac {\tanh(z_{1})\pm \tanh(z_{2})}{1\pm \tanh(z_{1})\tanh(z_{2})}}}
cosh
2
(
z
)
−
sinh
2
(
z
)
=
1
{\displaystyle {\cosh }^{2}(z)-{\sinh }^{2}(z)=1}
cosh
z
+
sinh
z
=
e
z
{\displaystyle \cosh z+\sinh z\ =\mathrm {e} ^{z}}
cosh
z
−
sinh
z
=
e
−
z
{\displaystyle \cosh z-\sinh z\ =\mathrm {e} ^{-z}}
Die Ableitung des Sinus hyperbolicus lautet:
d
d
z
sinh
(
z
)
=
cosh
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\sinh }(z)=\cosh(z)}
Die Ableitung des Kosinus hyperbolicus lautet:
d
d
z
cosh
(
z
)
=
sinh
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\cosh }(z)=\sinh(z)}
Die Ableitung des Tangens hyperbolicus lautet:
d
d
z
tanh
(
z
)
=
1
−
tanh
2
(
z
)
=
1
cosh
2
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\tanh }(z)=1-{\tanh }^{2}(z)={\frac {1}{\cosh ^{2}(z)}}}
Die Funktionen
sinh
(
z
)
{\displaystyle \sinh(z)}
cosh
(
z
)
{\displaystyle \cosh(z)}
e
z
{\displaystyle e^{z}}
e
−
z
{\displaystyle e^{-z}}
Fundamentalsystem ) der linearen Differentialgleichung
d
2
d
z
2
f
(
z
)
=
f
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}f(z)=f(z)}
Fordert man allgemein für die beiden Basislösungen
f
i
(
z
)
{\displaystyle f_{i}(z)}
f
1
(
0
)
=
0
{\displaystyle f_{1}(0)=0}
f
1
′
(
0
)
=
1
{\displaystyle f_{1}'(0)=1}
f
2
(
0
)
=
1
{\displaystyle f_{2}(0)=1}
f
2
′
(
0
)
=
0
{\displaystyle f_{2}'(0)=0}
sinh
{\displaystyle \sinh }
cosh
{\displaystyle \cosh }
Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A
:=
{
z
∈
C
∣
−
π
/
2
<
Im
z
<
π
/
2
}
{\displaystyle A:=\{z\in \mathbb {C} \mid -\pi /2<\operatorname {Im} \,z<\pi /2\}}
B
:=
{
z
∈
C
∣
Re
z
≠
0
∨
|
Im
z
|
<
1
}
{\displaystyle B:=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} \,z\neq 0\vee |\operatorname {Im} \,z|<1\}}
Dann bildet die komplexe Funktion
sinh
{\displaystyle \sinh }
A
{\displaystyle A}
bijektiv auf
B
{\displaystyle B}
Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A
:=
{
z
∈
C
∣
0
<
Im
z
<
π
}
{\displaystyle A:=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<\operatorname {Im} \,z<\pi \}}
B
:=
{
z
∈
C
∣
Im
z
≠
0
∨
|
Re
z
|
<
1
}
{\displaystyle B:=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} \,z\neq 0\vee |\operatorname {Re} \,z|<1\}}
Dann bildet die komplexe Funktion
cosh
{\displaystyle \cosh }
A
{\displaystyle A}
bijektiv auf
B
{\displaystyle B}
In deutschsprachiger Literatur wurden zur Unterscheidung von den trigonometrischen Funktionen die Hyperbelfunktionen lange Zeit in Frakturschrift dargestellt – mit initialer Großschreibung und ohne abschließendes h:[ 1]
S
i
n
x
=
^
sinh
x
{\displaystyle {\mathfrak {Sin}}\,x\,{\widehat {=}}\,\sinh x}
C
o
s
x
=
^
cosh
x
{\displaystyle {\mathfrak {Cos}}\,x\,{\widehat {=}}\,\cosh x}
T
a
n
x
/
T
g
x
=
^
tanh
x
/
tgh
x
{\displaystyle {\mathfrak {Tan}}\,x\ /\ {\mathfrak {Tg}}\,x\,{\widehat {=}}\,\tanh x\ /\ \operatorname {tgh} x}
C
o
t
x
/
C
t
g
x
=
^
coth
x
/
ctgh
x
{\displaystyle {\mathfrak {Cot}}\,x\ /\ {\mathfrak {Ctg}}\,x\,{\widehat {=}}\,\coth x\ /\ \operatorname {ctgh} x}
S
e
c
x
=
^
sech
x
{\displaystyle {\mathfrak {Sec}}\,x\,{\widehat {=}}\,\operatorname {sech} x}
C
s
c
x
=
^
csch
x
{\displaystyle {\mathfrak {Csc}}\,x\,{\widehat {=}}\,\operatorname {csch} x}
Für die Hyperbelfunktionen ist auch der Name hyperbolische Funktionen gebräuchlich.
Für
sinh
{\displaystyle \sinh }
hsin , Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebräuchlich.
Für
cosh
{\displaystyle \cosh }
hcos , Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebräuchlich. Der Graph entspricht der Kettenlinie (Katenoide). Tangens hyperbolicus :
tanh
(
x
)
:=
sinh
(
x
)
cosh
(
x
)
{\displaystyle \tanh(x):={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}}
Cotangens hyperbolicus :
coth
(
x
)
:=
1
tanh
(
x
)
=
cosh
(
x
)
sinh
(
x
)
{\displaystyle \coth(x):={\frac {1}{\tanh(x)}}={\frac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}}
Secans hyperbolicus :
sech
(
x
)
:=
1
cosh
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} (x):={\frac {1}{\cosh(x)}}}
Kosecans hyperbolicus :
csch
(
x
)
:=
1
sinh
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (x):={\frac {1}{\sinh(x)}}}
Funktion
sinh
{\displaystyle \sinh }
cosh
{\displaystyle \cosh }
tanh
{\displaystyle \tanh }
coth
{\displaystyle \coth }
sech
{\displaystyle \operatorname {sech} }
csch
{\displaystyle \operatorname {csch} }
sinh
(
x
)
=
{\displaystyle \sinh(x)=}
sinh
(
x
)
{\displaystyle \sinh(x)\,}
sgn
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x){\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}}
tanh
(
x
)
1
−
tanh
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\tanh(x)}{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}}
sgn
(
x
)
coth
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle {\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}}
sgn
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
sech
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x){\frac {\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}{\operatorname {sech} (x)}}}
1
csch
(
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {csch} (x)}}}
cosh
(
x
)
=
{\displaystyle \cosh(x)=}
1
+
sinh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}}
cosh
(
x
)
{\displaystyle \,\cosh(x)}
1
1
−
tanh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}}
|
coth
(
x
)
|
coth
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,{\frac {\left|\coth(x)\right|}{\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}}
1
sech
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\operatorname {sech} (x)}}}
1
+
csch
2
(
x
)
|
csch
(
x
)
|
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}{\left|\operatorname {csch} (x)\right|}}}
tanh
(
x
)
=
{\displaystyle \tanh(x)=}
sinh
(
x
)
1
+
sinh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\sinh(x)}{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}}}
sgn
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
cosh
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}{\cosh(x)}}}
tanh
(
x
)
{\displaystyle \,\tanh(x)}
1
coth
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\coth(x)}}}
sgn
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}
sgn
(
x
)
1
+
csch
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}}
coth
(
x
)
=
{\displaystyle \coth(x)=}
1
+
sinh
2
(
x
)
sinh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}{\sinh(x)}}}
sgn
(
x
)
cosh
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\cosh(x)}{\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}}}
1
tanh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\tanh(x)}}}
coth
(
x
)
{\displaystyle \,\coth(x)}
sgn
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}}
sgn
(
x
)
1
+
csch
2
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}
sech
(
x
)
=
{\displaystyle \operatorname {sech} (x)=}
1
1
+
sinh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}}}
1
cosh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\cosh(x)}}}
1
−
tanh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}
coth
2
(
x
)
−
1
|
coth
(
x
)
|
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}{\left|\coth(x)\right|}}}
sech
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sech} (x)}
|
csch
(
x
)
|
1
+
csch
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\left|\operatorname {csch} (x)\right|}{\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}}
csch
(
x
)
=
{\displaystyle \operatorname {csch} (x)=}
1
sinh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\sinh(x)}}}
sgn
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}}}
1
−
tanh
2
(
x
)
tanh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}{\tanh(x)}}}
sgn
(
x
)
coth
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}
sgn
(
x
)
sech
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\operatorname {sech} (x)}{\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}}
csch
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {csch} (x)}
Analog zum Eulerschen Beweis des Basler Problems können unendliche Produktreihen für den Sinus Hyperbolicus und den Cosinus Hyperbolicus aufgestellt werden:
1
x
sinh
(
x
)
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
2
n
2
π
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{x}}\sinh(x)=\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl (}1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}{\biggr )}}
cosh
(
x
)
=
∏
n
=
1
∞
[
1
+
4
x
2
(
2
n
−
1
)
2
π
2
]
{\displaystyle \cosh(x)=\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}1+{\frac {4x^{2}}{(2n-1)^{2}\pi ^{2}}}{\biggr ]}}
Die erste gezeigte Funktion stellt die nicht normierte Variante des Hyperbolischen Kardinalsinus dar.
Die Summen der diskreten Cauchy-Verteilung ergeben die Hyperbelfunktionen:
tanh
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
8
x
(
2
n
−
1
)
2
π
2
+
4
x
2
{\displaystyle \tanh(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {8x}{(2n-1)^{2}\pi ^{2}+4x^{2}}}}
L
(
x
)
=
coth
(
x
)
−
1
x
=
∑
n
=
1
∞
2
x
n
2
π
2
+
x
2
{\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2x}{n^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}}
sech
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
(
8
n
−
4
)
π
(
2
n
−
1
)
2
π
2
+
4
x
2
{\displaystyle \operatorname {sech} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(8n-4)\pi }{(2n-1)^{2}\pi ^{2}+4x^{2}}}}
1
x
−
csch
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
2
x
n
2
π
2
+
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{x}}-\operatorname {csch} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2x}{n^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}}
Alle sechs nun gezeigten Reihen sind für alle reellen Werte
x
{\displaystyle x}
Der Buchstabe L steht für die Langevin-Funktion , welche in der Elektrodynamik bei der Beschreibung des Paramagnetismus und in der statistischen Thermodynamik bei der Beschreibung der Wärmeenergie eine essentielle Rolle spielt und einen Spezialfall der Brillouin-Funktionen bildet. Und generell gilt für alle reellen Zahlen a, b und c mit dem Kriterium
4
a
c
−
b
2
>
0
{\displaystyle 4ac-b^{2}>0}
∑
n
=
−
∞
∞
1
a
n
2
+
b
n
+
c
=
2
π
sinh
(
1
a
4
a
c
−
b
2
π
)
4
a
c
−
b
2
[
cosh
(
1
a
4
a
c
−
b
2
π
)
−
cos
(
b
a
π
)
]
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a\,n^{2}+b\,n+c}}={\frac {2\,\pi \sinh {\bigl (}{\tfrac {1}{a}}{\sqrt {4ac-b^{2}}}\,\pi {\bigr )}}{{\sqrt {4ac-b^{2}}}\,{\bigl [}\cosh {\bigl (}{\tfrac {1}{a}}{\sqrt {4ac-b^{2}}}\,\pi {\bigr )}-\cos {\bigl (}{\tfrac {b}{a}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}}}}
Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Area-Funktionen .
Siehe auch:
Zusammenhang mit den Kreisfunktionen
Ilja N. Bronstein : Taschenbuch der Mathematik Nickos Papadatos: The characteristic function of the discrete Cauchy distribution . Department of Mathematics, National and Kapodistrian University of Athens, Panepistemiopolis, 157 84 Athens, Greece, 2022
↑ Stefan Hildebrandt : Analysis . Springer , 2002, ISBN 978-3-540-42838-1 , S. 243 , doi :10.1007/978-3-662-05694-3 eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
![{\displaystyle (-\infty ,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0241c015ef4c611c9c9aeafb395e7c4a16178405)
![{\displaystyle \cosh(x)=\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}1+{\frac {4x^{2}}{(2n-1)^{2}\pi ^{2}}}{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f96cfff1913f2188d5a035e4dc353bf1876308)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a\,n^{2}+b\,n+c}}={\frac {2\,\pi \sinh {\bigl (}{\tfrac {1}{a}}{\sqrt {4ac-b^{2}}}\,\pi {\bigr )}}{{\sqrt {4ac-b^{2}}}\,{\bigl [}\cosh {\bigl (}{\tfrac {1}{a}}{\sqrt {4ac-b^{2}}}\,\pi {\bigr )}-\cos {\bigl (}{\tfrac {b}{a}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c64d25b5cedbf1f69d0c7ccafedaf5fd88ce67a)
