Hyperelliptische Involution

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In der Mathematik ist die hyperelliptische Involution eine in der Funktionentheorie vorkommende Abbildung.

Sei eine Riemannsche Fläche vom Geschlecht . Eine hyperelliptische Involution ist eine holomorphe Abbildung

mit Fixpunkten, so dass gilt.

Existiert eine hyperelliptische Involution auf , so heißt eine hyperelliptische Fläche. Die Fixpunkte von heißen dann Weierstraß-Punkte von .

Eigenschaften hyperelliptischer Involutionen

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Wenn eine hyperelliptische Fläche vom Geschlecht ist, dann gibt es genau eine hyperelliptische Involution auf .

Die hyperelliptische Involution kommutiert mit allen anderen konformen Homöomorphismen von auf sich. Sie liegt also im Zentrum der Automorphismengruppe der Riemannschen Fläche, ihre Isotopieklasse liegt im Zentrum der Abbildungsklassengruppe von .

Eigenschaften hyperelliptischer Flächen

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Eine hyperelliptische Fläche wird in der affinen Karte durch eine Gleichung

mit einem Polynom ohne mehrfache Nullstellen beschrieben. Dazu kommen ein oder zwei Punkte im Unendlichen, je nachdem ob der oder ist. Die hyperelliptische Involution wird in der affinen Karte durch . Die Weierstraß-Punkte sind von der Form , wobei eine Nullstelle von ist, sowie im Fall noch der Punkt im Unendlichen.

Durch und Abbildung der Punkte im Unendlichen auf wird eine verzweigte 2-fache Überlagerung

definiert.

  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra: Riemann Surfaces. Springer, New York 1980, ISBN 0-387-90465-4
  • Mikhail G. Katz: Systolic Geometry and Topology. Amer. Math. Soc. 2007, ISBN 9780821841778