Im Jahr 1778 wurde von Leonhard Euler die Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung angegeben.[1] Sie steht in engem Zusammenhang mit der Gaußschen hypergeometrischen Funktion, die zuerst von Carl Friedrich Gauß systematisch untersucht wurde.
Die hypergeometrische Funktion
, wobei
die Gammafunktion bezeichnet, genügt der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung:
.
Die Differentialgleichung 2. Ordnung besitzt drei hebbare Singularitäten, deren Werte im Folgenden bestimmt werden.
Ausgehend von der Hypergeometrischen Differentialgleichung in der Darstellung
![{\displaystyle {\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}z^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+p(z){\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)-q(z)\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a784a97d39731e6d01f552f59316da8804c071b2)
mit
![{\displaystyle p(z)={\frac {c-(a+b+1)z}{z(1-z)}}={\frac {c-cz+(c-a-b-1)z}{z(1-z)}}={\frac {c}{z}}+{\frac {c-a-b-1}{1-z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa7d277e2a57a5a5fd9b89654057fd504a2724a4)
und
![{\displaystyle q(z)={\frac {ab}{z(1-z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ddbfb9e05f4c2d5480574b70553303cab44fdee)
erhält man die beiden hebbaren Singularitäten bei
und
.
Die dritte hebbare Singularität wird durch die Substitution
erhalten. Zunächst werden dazu die Ableitungen der hypergeometrische Funktion wie folgt substituiert:
![{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}z}}=-t^{2}\cdot {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d709c727c93f1b71077a0d9a53096527c9fba1cc)
und
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}z^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\Big (}-t^{2}\cdot {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t){\Big )}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}z}}\\&=-t^{2}{\Big (}-2t\cdot {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)-t^{2}\cdot {\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}t^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t){\Big )}\\&=t^{4}\cdot {\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}t^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)+2t^{3}\cdot {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4aad86702e1141f3249cd81c8f468a446ec4d9)
Somit nimmt die hypergeometrische Differentialgleichung, nach Division durch
, folgende Gestalt an:
![{\displaystyle {\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}t^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)+{\tilde {p}}(t)\cdot {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)-{\tilde {q}}(t)\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ff4bd41156efb4212832f94dbcff97b1901aef4)
mit
![{\displaystyle {\tilde {p}}(t)={\frac {2}{t}}+{\frac {1}{t^{2}}}p(z={\tfrac {1}{t}})={\frac {2}{t}}+{\frac {1}{t^{2}}}{\Big (}ct+{\frac {c-a-b-1}{1-{\frac {1}{t}}}}{\Big )}={\frac {c+2}{t}}+{\frac {c-a-b-1}{t(t-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7711d2bb6c98f07a7f8254050a0bcb738ed691d8)
und
![{\displaystyle {\tilde {q}}(t)={\frac {1}{t^{4}}}q(z={\tfrac {1}{t}})={\frac {1}{t^{4}}}{\frac {ab}{{\frac {1}{t}}(1-{\frac {1}{t}})}}={\frac {ab}{t^{2}(t-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358bb3977870f15ae6c77d1925ee424fc237632b)
Demnach besitzt die hypergeometrische Differentialgleichung zudem bei
eine hebbare Singularität.
Mit dem Potenzreihenansatz
mit komplexen Koeffizienten
lautet die hypergeometrische Differentialgleichung:
.
Nach Ausführung der Ableitungen ergibt sich die Darstellung
.
Zusammenfassen der Potenzen von
führt zu
.
Mittels Indexverschiebung ergibt sich
.
Diese Gleichung ist offensichtlich dann erfüllt, wenn:
.
Somit ist für den Koeffizienten
folgende Rekursion gefunden:
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{k+1}&={\frac {k(k-1)+(a+b+1)k+ab}{(k+1)k+c(k+1)}}u_{k}\\&={\frac {k^{2}-k+ka+kb+k+ab}{(c+k)(1+k)}}u_{k}\\&={\frac {k^{2}+ka+kb+ab}{(c+k)(1+k)}}u_{k}\\&={\frac {(a+k)(b+k)}{(c+k)(1+k)}}u_{k}\\&={\frac {(a,k)(b,k)}{(c,k)(1,k)}}u_{0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8217aefcd2a6ecc34d4bf160181ebe233cd531)
Hierbei bezeichnet
das Pochhammer-Symbol.
Wird als Anfangswert
gesetzt, so lautet die erste Basislösung der hypergeometrischen Differentialgleichung:
.
Für
erhält man als zweite linear unabhängige Basislösung[2]
![{\displaystyle v(z)=z^{1-c}{}_{2}F_{1}(a-c+1,b-c+1;2-c;z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5cc87a971e4aefe0fd25a20a9ce567c5c61bb3)
Beide zusammen spannen den gesamten Lösungsraum der hypergeometrischen Differentialgleichung auf:
mit ![{\displaystyle C_{1},C_{2}\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc837629114d1ffb2d0d2e44735f7f01211e8681)
- Leonhard Euler: Specimen transformationis singularis serierum. In: Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. 12. Jahrgang, 1801, S. 58 – 70 (maa.org).
- ↑ Leonhard Euler: Transformationis Singularis, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, Band 12, 1801, Seite 58–70, online bei books.google.de
- ↑ Erwin Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. John Wiley & Sons 1988, S. 204 f.