Hyperholomorphie

Hyperholomorphie ist eine mögliche Verallgemeinerung des Begriffs der Holomorphie von den Komplexen Zahlen auf allgemeinere Clifford-Algebren, ausgehend vom Begriff der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.

Definition

Es bezeichne $Cl_{p,q}$ eine Clifford-Algebra mit der algebraischen Basis $1;\,e_{1},\dots ,e_{n};\,e_{1}e_{2},\dots e_{n-1}e_{n};\dots ;\,e_{1}e_{2}\dots e_{n}$. Das System $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ ist eine Basis in

$\mathbb {R} ^{p,q}$mit $e_{i}^{2}=-1,\,i=1,\dots ,q;\,e_{i}^{2}=1,\;i=p+1,\dots ,p+q=n$.

Der Operator

$D=\sum _{i=1}^{n}e_{i}\partial _{i}$,

der im Raum $C^{1}(G,Cl_{p,q})$ wirkt, wobei $G\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Gebiet ist, wird als Dirac-Operator bezeichnet. Der Operator $\partial =\partial _{0}+D$ heißt Operator vom Cauchy-Riemann-Typ. Die Symbole $\partial _{i};i=0,1,...,n$ kennzeichnen die partiellen Ableitungen. Man bezeichnet nunmehr eine Funktion $f$ als hyperholomorph, wenn sie eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

$Df=0,(fD)=0,\partial f=0,(f\partial )=0$.

Da Clifford-Algebren im Allgemeinen nichtkommutative Algebren sind, liefert die Anwendung von links bzw. von rechts unterschiedliche Funktionenklassen. Oft werden die präziseren Begriffe $Cl_{p,q}$-(links)-holomorph bzw. $Cl_{p,q}$-(rechts)-holomorph verwendet. Ist klar, von welcher Seite die Anwendung der Operatoren zu verstehen ist, werden auch die Zusätze links und rechts weggelassen. Anstelle des Begriffs holomorph wird auch mitunter monogen bzw. Cl-analytisch verwendet. Wichtige Clifford-Algebren sind die Algebra der komplexen Zahlen $Cl_{0,1}$ (kommutativ), die Algebra der reellen Quaternionen $Cl_{0,2}$ und die Pauli-Algebra $Cl_{3,0}$.

Literatur

• F. Brackx, R. Delanghe, F. Sommen: Clifford analysis. (= Res. Notes Math. Ser. 76). Pitman, 1982, ISBN 0-273-08535-2.
• K. Gürlebeck, W. Sprößig: Quaternionic and Clifford Calculus for Physicists and Engineers. (= Mathematical Methods in Practice). Wiley & Sons, Chichester 1997, ISBN 0-471-96200-7.
• V. V. Kravchenko, M. V. Shapiro: Integral representations for spatial models of mathematical physics. (= Res. Notes Math Ser. 351). Pitman, 1996, ISBN 0-582-29741-9.
• K. Gürlebeck, K. Habetha, W. Sprössig: Funktionentheorie in der Ebene und im Raum. Birkhäuser, 2006, ISBN 3-7643-7369-5.