Integration-by-parts-Operator

Ein Integration-by-parts-Operator ist ein linearer Operator, der eine Formulierung der partiellen Integration ermöglicht. Der Operator ist vor allem in Räumen von unendlicher Dimension interessant und wird hauptsächlich im Malliavin-Kalkül aus der stochastischen Analysis verwendet.

Integration-by-parts-Operator

Sei $E$ ein Banach-Raum, sodass $E$ und der topologische Dualraum $E^{*}$ separable Räume sind, und $\mu$ ein Borelmaß auf $E$. Sei $S$ eine fixierte Untermenge des Funktionenraums auf $E$. Mit $\mathrm {D} \phi$ bezeichnen wir die Fréchet-Ableitung von $\phi$. Ein linearer Operator $\operatorname {P} \colon S\to L^{2}(\mu )$ heißt Integration-by-parts-Operator (kurz IPO) für $\mu$ falls

$\int _{E}\mathrm {D} \varphi (x)h(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{E}\varphi (x)(\operatorname {P} h)(x)\,\mathrm {d} \mu (x)$

für jede C¹-Funktion $\varphi \colon E\to \mathbb {R}$ und jedes $h\in S$ gilt, mit dem beide Seiten existieren.

Beispiele

Betrachte einen abstrakten Wiener-Raum $(H,E,\mu )$ mit Gaußschem Maß $\mu \colon H\to E$. Man kann $E^{*}$ als Unterraum von $E$ unter der Inklusion

$E^{*}\xrightarrow {i^{*}} H^{*}\cong H\xrightarrow {i} E$

auffassen. Sei $S$ ein Unterraum von $C^{1}(E,E^{*})$. Für $h\in S$ definiere

$(\operatorname {P} h)(x):=h(x)x-\operatorname {Tr} _{H}\operatorname {D} h(x).$

Dann ist $\operatorname {P}$ ein Integration-by-parts-Operator. Der Beweis folgt aus dem Divergenzsatz für abstrakte Wiener-Räume und kann in Elworthy (1974) gefunden werden.