Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome, sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall
bezüglich der Gewichtsfunktion
mit
. Sie haben die explizite Form[1]

oder mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion
:

![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-x)^{-\alpha }(1+x)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x)^{\alpha +n}(1+x)^{\beta +n}\right],~~~\alpha ,\beta >-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b752ea0562f33672ccb347e252ba037e4bfb4c15)
Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.



mit den Konstanten:




Der Wert für
ist
.
Es gilt die folgende Symmetriebeziehung

woraus sich der Wert für
ergibt:

Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung

Aus der expliziten Form können die
-ten Ableitungen abgelesen werden. Sie ergeben sich als:

Die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix

mit




stimmen mit den Nullstellen von
überein.[2] Somit bietet der QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach sind und im Intervall
liegen.
Mit Hilfe der Landau-Symbole lässt sich folgende Formel aufstellen:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )={\frac {\cos \left(\left[n+(\alpha +\beta +1)/2\right]\theta -\left[2\alpha +1\right]\pi /4\right)}{{\sqrt {\pi n}}\left[\sin(\theta /2)\right]^{\alpha +1/2}\left[\cos(\theta /2)\right]^{\beta +1/2}}}+{\mathcal {O}}\left(n^{-3/2}\right),~~~0<\theta <\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbdc9975955211fd6a45f99cf645ae262f42a68)
Für alle
gilt
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)z^{n}=2^{\alpha +\beta }[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha }[1+z+f(x,z)]^{-\beta },~~~f(x,z)={\sqrt {1-2xz+z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2809da20b32575f701d8c89858b4ce98db662ce4)
Die Funktion
![{\displaystyle z\mapsto 2^{\alpha +\beta }[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha }[1+z+f(x,z)]^{-\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f34e882ac90bd394330ed5ed33f2a8ce5eae12)
wird daher als erzeugende Funktion der Jacobi-Polynome bezeichnet.
Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:
- Eric W. Weisstein: Jacobi Polynomial. In: MathWorld (englisch).
- Sherwin Karniadakis: Spectral/hp Element Methods for CFD. 1. Auflage. Oxford University Press, New York 1999, ISBN 0-19-510226-6.
- I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik: Table of Integrals, Series, and Products. 5. Auflage. Academic Press Inc., Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto 1994, ISBN 0-12-294755-X.
- Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. 1. Auflage. Edition am Gutenbergplatz Leipzig, Leipzig 2009, ISBN 3-937219-28-5.
- ↑ Abramowitz, Stegun (1965): Formel 22.3.2 - enthält darüber hinaus umfangreiche Zusatzinformationen und Belege für die weiteren hier genannten Formeln
- ↑ Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. Hrsg.: Edition am Gutenbergplatz Leipzig. 2009, ISBN 3-937219-28-5 (Kapitel 2.2 und 2.4).