Jacobi-Polynom

Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome, sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall $[-1,1]$ bezüglich der Gewichtsfunktion $(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }$ mit $\alpha ,\beta >-1$. Sie haben die explizite Form

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{m},$

oder mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ${}_{2}F_{1}$:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={n+\alpha \choose n}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+n+\alpha +\beta ;\alpha +1;{\frac {1-x}{2}}\right).$

Rodrigues-Formel

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-x)^{-\alpha }(1+x)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x)^{\alpha +n}(1+x)^{\beta +n}\right],~~~\alpha ,\beta >-1$

Rekursionsformeln

Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.

$P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(x)=1$

$P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {1}{2}}{\bigl (}\alpha -\beta +(\alpha +\beta +2)x{\bigr )}$

$a_{n}^{1}P_{n+1}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(a_{n}^{2}+a_{n}^{3}x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)-a_{n}^{4}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(x)$

mit den Konstanten:

$a_{n}^{1}=2(n+1)(n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta )$

$a_{n}^{2}=(2n+\alpha +\beta +1)(\alpha ^{2}-\beta ^{2})$

$a_{n}^{3}=(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta +2)$

$a_{n}^{4}=2(n+\alpha )(n+\beta )(2n+\alpha +\beta +2)$

Eigenschaften

Der Wert für $x=1$ ist

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{\Gamma (\alpha +1)n!}}$.

Es gilt die folgende Symmetriebeziehung

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-x)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(x)\,,$

woraus sich der Wert für $x=-1$ ergibt:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.$

Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung

$\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}.$

Ableitungen

Aus der expliziten Form können die $k$-ten Ableitungen abgelesen werden. Sie ergeben sich als:

${\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\;\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(x).$

Nullstellen

Die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix

${\begin{pmatrix}a_{0}&b_{1}&0&\dots &0\\b_{1}&a_{1}&b_{2}&\ddots &\vdots \\0&b_{2}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &b_{n-1}\\0&\dots &0&b_{n-1}&a_{n-1}\end{pmatrix}}$

mit

$a_{0}={\frac {\beta -\alpha }{2+\alpha +\beta }}$

$a_{j}={\frac {(\beta -\alpha )(\alpha +\beta )}{(2j+\alpha +\beta )(2j+2+\alpha +\beta )}},~~~j=1,\dots ,n-1$

$b_{j}={\sqrt {\frac {4j(j+\alpha )(j+\beta )(j+\alpha +\beta )}{(2j-1+\alpha +\beta )(2j+\alpha +\beta )^{2}(2j+1+\alpha +\beta )}}}$

stimmen mit den Nullstellen von $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}$ überein. Somit bietet der QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach sind und im Intervall $(-1,1)$ liegen.

Asymptotische Darstellung

Mit Hilfe der Landau-Symbole lässt sich folgende Formel aufstellen:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )={\frac {\cos \left(\left[n+(\alpha +\beta +1)/2\right]\theta -\left[2\alpha +1\right]\pi /4\right)}{{\sqrt {\pi n}}\left[\sin(\theta /2)\right]^{\alpha +1/2}\left[\cos(\theta /2)\right]^{\beta +1/2}}}+{\mathcal {O}}\left(n^{-3/2}\right),~~~0<\theta <\pi .$

Erzeugende Funktion

Für alle $x\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} ,|z|<1$ gilt

$\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)z^{n}=2^{\alpha +\beta }[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha }[1+z+f(x,z)]^{-\beta },~~~f(x,z)={\sqrt {1-2xz+z^{2}}}.$

Die Funktion

$z\mapsto 2^{\alpha +\beta }[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha }[1+z+f(x,z)]^{-\beta }$

wird daher als erzeugende Funktion der Jacobi-Polynome bezeichnet.

Spezialfälle

Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:

• für $\alpha =\beta =0$: Legendre-Polynome
• Gegenbauer-Polynome
• Tschebyschow-Polynome erster und zweiter Ordnung
• der Radialterm der Zernike-Polynome

Literatur

• Eric W. Weisstein: Jacobi Polynomial. In: MathWorld (englisch).
• Sherwin Karniadakis: Spectral/hp Element Methods for CFD. 1. Auflage. Oxford University Press, New York 1999, ISBN 0-19-510226-6. 
• I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik: Table of Integrals, Series, and Products. 5. Auflage. Academic Press Inc., Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto 1994, ISBN 0-12-294755-X. 
• Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. 1. Auflage. Edition am Gutenbergplatz Leipzig, Leipzig 2009, ISBN 3-937219-28-5.