Die John-Nirenberg-Ungleichung ist eine Abschätzung, die nach Fritz John und Louis Nirenberg benannt ist. Sie beschreibt, wie weit eine Funktion des BMO-Raums von ihrem Durchschnitt um einen bestimmten Betrag abweichen darf. Dabei kann man die folgenden zwei Sätze unterscheiden.
Für das Nachfolgende gilt im Sinne der Definition der BMO-Räume, dass
eine integrierbare Funktion ist, für welche man
![{\displaystyle [\mu ]_{*}=[\mu ]_{*,Q_{0}}:=\sup _{Q\subset Q_{0}}\int \limits _{Q}^{}\left|\mu -\mu _{Q}\right|dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2925d1b61aa7d61d25374f5293f70e2632f5659e)
setzt, wobei
für einen achsenparallelen Würfel im
und
mit
![{\displaystyle \mu _{Q}={\frac {1}{|Q|}}\int \limits _{Q}\mu (x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af742f6b55ad921ba3dc76ac0995c6a628997293)
für den Durchschnittswert von
auf dem Würfel
steht. Außerdem definiert man für
und
![{\displaystyle \Gamma _{\sigma ,Q}(\mu ):=\left\{x\in Q:\mid \mu (x)-\mu _{Q}\mid >\sigma \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fa95b7ed30823e0ce63159a36f4baaa39422a)
Es gibt zwei positive Konstanten
und
, welche unabhängig von
sind, sodass für alle
und
gilt:
![{\displaystyle \left|\Gamma _{\sigma ,Q_{0}}(\mu )\right|\leqslant A\exp \left({\frac {-\alpha \sigma }{[\mu ]_{*,Q_{0}}}}\right)\left|Q_{0}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4a7bfddee4f8b1ea875e6b8b996f919c1e6990)
Ist
, so gilt
für alle
und für jeden achsenparallelen Würfel
erhält man:
![{\displaystyle \int _{Q}^{}\mid \mu -\mu _{Q}\mid ^{p}dx\leqslant C[\mu ]_{*,Q}^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec4ec6f8759650a75d47075da6f3d54c2ccf8b9)
Angenommen für
existieren Konstanten
und
, sodass jede Zerlegung
von
im Würfel
mit paarweise disjunktem Inneren (also
mit
) gilt:
![{\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{\infty }\left|Q_{j}\right|\left(\int \limits _{Q_{j}}^{}\left|\mu -\mu _{Q_{j}}\right|dx\right)^{p}\leqslant k^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e20c6c5a03c8aab08b661c912204e70f81da5cdb)
Man bezeichne nun mit
die kleinste Konstante mit dieser Eigenschaft, dann gilt mit einer Konstante
:
![{\displaystyle \left|\Gamma _{\sigma ,Q_{0}}(\mu )\right|=\left|\left\{x\in Q_{0}:\left|\mu (x)-\mu _{Q_{0}}\right|>\sigma \right\}\right|\leqslant A\left({\frac {[\mu ]_{{p},Q_{0}}}{\sigma }}\right)^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae33e022b860337f0a24c2496560ad71515a38fa)
- Kinnunen, J; Myyryläinen, K; Yang, D: John–Nirenberg inequalities for parabolic BMO. Mathematische Annalen, Springer Verlag, vol. 387, Seite 1125–1162, 2023
- Chul Pak, H: On the John–Nirenberg inequality. Journal of Inequalities and Applications, Article 130, 2020