John-Nirenberg-Ungleichung

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Die John-Nirenberg-Ungleichung ist eine Abschätzung, die nach Fritz John und Louis Nirenberg benannt ist. Sie beschreibt, wie weit eine Funktion des BMO-Raums von ihrem Durchschnitt um einen bestimmten Betrag abweichen darf. Dabei kann man die folgenden zwei Sätze unterscheiden.

Allgemeine Bemerkungen

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Für das Nachfolgende gilt im Sinne der Definition der BMO-Räume, dass eine integrierbare Funktion ist, für welche man

setzt, wobei für einen achsenparallelen Würfel im und mit

für den Durchschnittswert von auf dem Würfel steht. Außerdem definiert man für und

John-Nirenberg I

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Es gibt zwei positive Konstanten und , welche unabhängig von sind, sodass für alle und gilt:

Ist , so gilt für alle und für jeden achsenparallelen Würfel erhält man:

John-Nirenberg II

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Angenommen für existieren Konstanten und , sodass jede Zerlegung von im Würfel mit paarweise disjunktem Inneren (also mit ) gilt:

Man bezeichne nun mit die kleinste Konstante mit dieser Eigenschaft, dann gilt mit einer Konstante :

  • Kinnunen, J; Myyryläinen, K; Yang, D: John–Nirenberg inequalities for parabolic BMO. Mathematische Annalen, Springer Verlag, vol. 387, Seite 1125–1162, 2023
  • Chul Pak, H: On the John–Nirenberg inequality. Journal of Inequalities and Applications, Article 130, 2020