John Machin

John Machin

Machins Formel
Zitat aus William Jones „Synopsis Palmariorum Matheseos“ (1706)

John Machin (* 1680 in England; † 9. Juni 1751 in London) war ein Astronom und Mathematiker mit einer Professur am Gresham College in London. Er ist bekannt wegen seiner 1706 entdeckten arctan-Formel für die Kreiszahl $\pi$

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$,

die mit Hilfe der Taylorentwicklung des Arkustangens eine schnell konvergierende Reihe zur numerischen Berechnung von $\pi$ ergibt. Diese hatte er benutzt, um 100 Dezimalstellen von $\pi$ zu berechnen. Die Leibniz-Reihe

$\arctan 1={\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots$

ist wegen ihrer langsamen Konvergenz nicht für eine numerische Berechnung geeignet. Eine Würdigung dieser Entdeckung besteht darin, dass sie die erste wesentlich neue Methode zur numerischen Berechnung von $\pi$ nach Archimedes darstellt. Diese archimedische Methode hatte noch um 1600 Ludolph van Ceulen zur Berechnung von 35 Dezimalstellen benutzt. Heute sind viele weitere arctan-Formeln für $\pi$ von machinscher Bauart bekannt.

Literatur

• Siegfried Gottwald, Hans J. Ilgauds, Karl-Heinz Schlote: Lexikon bedeutender Mathematiker. Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9.

Weblinks

• John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: John Machin. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch).