Körperhomomorphismus

In der Mathematik, insbesondere in der Algebra, ist ein Körperhomomorphismus eine strukturerhaltende Abbildung zwischen so genannten Körpern.

Definition

Seien $(K;+_{K};*_{K})$ und $(L;+_{L};*_{L})$ zwei Körper.

• Eine Funktion $f\colon K\to L$ heißt Körperhomomorphismus, falls sie folgende Axiome erfüllt:

1. $f(0_{K})=0_{L}$ sowie $f(1_{K})=1_{L}$
2. $\forall a;b\in K\colon f(a+_{K}b)=f(a)+_{L}f(b)$
3. $\forall a;b\in K\colon f(a*_{K}b)=f(a)*_{L}f(b)$

Es ist daher unerheblich, ob Elemente zunächst in $K$ verknüpft werden und das Ergebnis anschließend durch einen Homomorphismus abgebildet wird, oder ob die Verknüpfung der entsprechenden Funktionswerte erst in $L$ geschieht.

• Ein bijektiver Körperhomomorphismus heißt Körperisomorphismus.

Körper, zwischen denen ein Isomorphismus existiert, in Zeichen $K\cong L$, sind aus Sicht der (abstrakten) Algebra ununterscheidbar.

• Ein Körperisomorphismus $f\colon K\to K$ eines Körpers in sich selbst heißt Körperautomorphismus.

In der Galois-Theorie beschäftigt man sich speziell mit Körperautomorphismen, die einen gegebenen Unterkörper invariant lassen.

Eigenschaften

• Jeder Körper ist insbesondere ein Ring mit Eins. Entsprechend ist ein Körperhomomorphismus $f\colon K\to L$ lediglich ein Ringhomomorphismus, für den zusätzlich gefordert wird, dass $f(1)=1$ gilt. Insbesondere induziert $f$ sowohl einen Gruppenhomomorphismus $f\colon (K,+)\to (L,+)$ der additiven Gruppen als auch einen Gruppenhomomorphismus $f\colon (K\setminus \{0\},\cdot )\to (L\setminus \{0\},\cdot )$ der multiplikativen Gruppen.
• Ein Körperhomomorphismus $f\colon K\to L$ ist immer injektiv: Da der Kern eines Ringhomomorphismus ein Ideal ist, aber der Körper $K$ nur die trivialen Ideale $\{0\}$ und $K$ besitzt, muss wegen $f(1)\neq 0$ somit $\ker f=\{0\}$ gelten. Daher ist $f$ injektiv.
• Ein Körperautomorphismus $f\colon K\to K$ lässt stets zumindest den Primkörper von $K$ invariant.

Beispiele

• Die komplexe Konjugation ist ein Körperautomorphismus des Körpers $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen, der den Unterkörper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen invariant lässt.
• Für einen Körper, dessen Charakteristik $p$ eine Primzahl ist, ist der Frobenius-Homomorphismus $x\mapsto x^{p}$ ein Körperendomorphismus, der einen zu $\mathbb {F} _{p}$ isomorphen Unterkörper fest lässt. Ist der Körper endlich, so ist diese Abbildung sogar ein Körperautomorphismus.
• Primkörper, zum Beispiel $\mathbb {F} _{p}$, haben mit Ausnahme der Identitätsabbildung keine Körperautomorphismen.

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-40388-4.
• Falko Lorenz: Einführung in die Algebra. Teil I. Bibliographisches Institut, Mannheim 1987, ISBN 3-411-03171-9.