Kanonischer Divisor

In der Funktionentheorie ist der kanonische Divisor ein Begriff aus der Theorie riemannscher Flächen.

Definition

Sei $S$ eine riemannsche Fläche und $\omega \in \Omega ^{1}(S)$ eine meromorphe 1-Form. Der kanonische Divisor von $\omega$ ist der Divisor

$(\omega ):=\sum _{x\in S}\operatorname {ord} (\omega ,x)\cdot x$.

Dabei ist

$\operatorname {ord} (\omega ,x):={\begin{cases}0,&f{\mbox{ holomorph und nicht Null in }}x\\k,&f{\mbox{ hat eine Nullstelle von Ordnung }}k{\mbox{ in }}x\\-k,&f{\mbox{ hat eine Polstelle von Ordnung }}k{\mbox{ in }}x\end{cases}}$

für eine Darstellung $\omega =f(z)dz$ in einer lokalen Koordinate $z$. Der Wert von $\operatorname {ord} (\omega ,x)$ hängt nur von $\omega$ und nicht vom gewählten Koordinatensystem ab.

Für verschiedene meromorphe 1-Formen auf einer riemannschen Fläche $S$ erhält man äquivalente kanonische Divisoren, d. h. ihre Differenz ist ein Hauptdivisor. Die Äquivalenzklasse des kanonischen Divisors $K$ ist also unabhängig von der gewählten meromorphen 1-Form wohldefiniert.

Eigenschaften

Der Grad $\operatorname {deg} (K):=\sum _{x}\operatorname {ord} (\omega ,x)$ des kanonischen Divisors ist $2g-2$, wobei $g$ das Geschlecht der riemannschen Fläche $S$ ist.

Der Satz von Riemann-Roch stellt für beliebige Divisoren $D$ einen Zusammenhang zwischen den Dimensionen der Lösungsräume von $D$ und $K-D$ her.

Literatur

• Otto Forster: Riemannsche Flächen. (= Heidelberger Taschenbücher 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1.