Karo (Mengenlehre)
(Karo) ist ein „kombinatorisches“ Prinzip in der Mengenlehre.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für jede unendliche Kardinalzahl ist eine Abkürzung für die folgenden Aussage:
- es gibt eine Folge mit folgenden Eigenschaften:
- für alle gilt
- für alle ist die Menge eine stationäre Teilmenge von .
Oft spricht man vereinfachend davon, dass das Prinzip es ermöglicht, Teilmengen von zu „erraten“. Während die Anzahl der Teilmengen von (also die Kardinalität der Potenzmenge von ) zwar nach dem Satz von Cantor größer als ist, postuliert , dass es eine transfinite Folge der Länge gibt, die alle Teilmengen von „errät“ (genauer: stationär oft besser und besser approximiert).
Statt schreibt man oft nur .
Zusammenhang mit CH und GCH
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Aussage ◊ ist in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) weder beweisbar noch widerlegbar.
Man zeigt leicht, dass aus ◊ die Kontinuumshypothese CH folgt. Allgemeiner folgt aus die Gleichung . Aus CH kann man ◊ nicht folgern, aber aus zusammen mit kann man schließen. Aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese GCH folgt also für alle mit überabzählbarer Konfinalität.
Anwendungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]◊ impliziert, dass die Suslin-Hypothese falsch ist; mit anderen Worten: dass es eine Suslin-Gerade gibt, also eine nicht-separable lineare Ordnung, in der dennoch jede Familie von disjunkten Intervallen höchstens abzählbar ist.