Kartesisch abgeschlossene Kategorie

Eine (mathematische) Kategorie heißt kartesisch abgeschlossen, wenn – grob ausgedrückt – die Morphismenmengen wieder Objekten der Kategorie entsprechen.

Definition

Eine Kategorie $\mathbf {K}$ heißt kartesisch abgeschlossen, wenn folgendes gilt:

• für alle Objekte in $\mathbf {K}$ sind auch deren endliche Produkte Objekte in $\mathbf {K}$
• für alle Objekte $Z,X$ in $\mathbf {K}$ sind auch deren Exponentiale $Z^{X}$ in $\mathbf {K}$

Die erste Bedingung impliziert die Existenz eines terminalen Objekts. Die letzte Bedingung kann auch so formuliert werden, dass jeder Produktfunktor

$Y\mapsto Y\times X$

einen rechtsadjungierten Funktor

$Z\mapsto Z^{X}$ oder $Z\mapsto \mathbf {Hom} (X,Z)$

besitzt. Man nennt $X$ dann exponentiell.

Beispiele

• Die Kategorie Set der Mengen (und Abbildungen) ist kartesisch abgeschlossen. Der erforderliche rechtsadjungierte Funktor ist durch $Z\mapsto \operatorname {Mor} (X,Z)$ gegeben, die die Adjungiertheit liefernde natürliche Äquivalenz dadurch, dass $f\colon Y\times X\to Z$ auf $g\colon Y\to \operatorname {Mor} (X,Z)$ mit $g(y)\colon x\mapsto f(x,y)$ abgebildet wird.
• Für jede kleine Kategorie ${\mathcal {C}}$ ist die Funktorkategorie $\mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\text{op}}}$ kartesisch abgeschlossen. Produkte werden objektweise gebildet: $(F\times G)(A)\cong F(A)\times G(A)$. Für die Exponentiation gilt $G^{F}(A)\cong \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\text{op}}}({\mathcal {C}}(-,A)\times F,G)$.
• Die Kategorie Ab der abelschen Gruppen ist nicht kartesisch abgeschlossen. Zwar tragen die Morphismenmengen durch punktweise Addition ihrerseits die Struktur einer abelschen Gruppe, jedoch sind nicht alle abelschen Gruppen exponentiell.
• Die Kategorie Top der topologischen Räume und stetigen Abbildungen ist nicht kartesisch abgeschlossen, aber die Kategorie der kompakt erzeugten separierten topologischen Räume (und stetigen Abbildungen) ist es (ein topologischer Raum ist kompakt erzeugt, falls die entsprechende Topologie final ist bezüglich der Familie der Inklusionen aller kompakten Teilmengen, insbesondere sind alle pseudometrischen und alle lokalkompakten Räume kompakt erzeugt). Die exponentiellen Objekte in Top sind in Verallgemeinerung lokaler Kompaktheit als so genannte quasilokalkompakte Räume charakterisiert.
• Ein Verband kann als Kategorie angesehen werden. Die Verbandsordnung bestimmt dabei die Morphismen, Durchschnitt und Vereinigung sind Produkte und Koprodukte. Ist die so entstehende Kategorie kartesisch abgeschlossen, so ist der Verband eine Heyting-Algebra.

Anwendungen

In kartesisch abgeschlossenen Kategorien wird häufig folgende Konstruktion verwendet. Zu einem Objekt $X$ betrachtet man die Menge aller Morphismen von $X$ in einen besonderen Raum $Q$. Häufig wird $Q$ sehr einfach gewählt: in Set betrachtet man $Q=\left\{0,1\right\}$, in BanSp₁ (Banachräume mit stetigen linearen Abbildungen) wählt man oft als $Q$ die reellen Zahlen und in CBanAlg (kommutative komplexe Banachalgebren mit Einheit und normreduzierenden Algebrenhomomorphismen) nimmt man die komplexen Zahlen. Der so entstandene Funktionenraum $X^{*}$ wird häufig Dualraum genannt. Der Funktor, der jedem Objekt $X$ das $X^{*}$ zuordnet und jedem Morphismus $f\colon X\to Y$ den Morphismus $f^{*}\colon Y^{*}\to X^{*}$ vermöge $f^{*}(l):=l\circ f$ zuordnet, wird dualer Funktor, adjungierter Funktor oder exponentieller Funktor genannt, wobei jeder dieser Namen auch eine andere Bedeutung hat.

Diese Konstruktion ermöglicht es, Fragen an ein Objekt $X$ in Fragen an das Objekt $X^{*}$ zu transformieren, die dann manchmal leichter zu beantworten sind. Besonders komfortabel sind die reflexiven Objekte, für die $(X^{*})^{*}=X$ gilt.