Kato-Ungleichung

Die Kato-Ungleichung ist in der Funktionalanalysis eine Distributions-Ungleichung für den Laplace-Operator respektive gewisse elliptische Operatoren. Sie wurde 1972 von dem japanischen Mathematiker Tosio Kato bewiesen.

Wir behandeln hier den Fall für den Laplace-Operator, wie sie bei Haïm Brezis und Wolfgang Arendt zu finden ist. Die ursprüngliche Ungleichung gilt allgemeiner für gewisse degenerierte elliptische Operatoren.

Aussage

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ eine beschränkte, offene Menge und $f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )$, so dass $\Delta f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )$. Dann gilt

$\Delta |f|\geq \operatorname {Re} \left((\operatorname {sgn} {\overline {f}})\Delta f\right)\quad$ in $\;{\mathcal {D}}'(\Omega )$,

wobei

$\operatorname {sgn} {\overline {f}}={\begin{cases}{\frac {\overline {f(x)}}{|f(x)|}}&{\text{falls }}f\neq 0\\0&{\text{falls }}f=0.\end{cases}}$

$L_{\operatorname {loc} }^{1}$ ist der Raum der lokal integrierbaren Funktionen.

Erläuterungen

• Die Ungleichung wird manchmal auch in folgender Form

$\Delta f^{+}\geq \operatorname {Re} \left(1_{[f\geq 0]}\Delta f\right)\quad$ in $\;{\mathcal {D}}'(\Omega )$

dargestellt, wobei $f^{+}=\operatorname {max} (f,0)$ und $1_{[f\geq 0]}$ die Indikatorfunktion ist.

• Falls $f$ stetig in $\Omega$ ist, dann folgt

$\Delta |f|\geq \operatorname {Re} \left((\operatorname {sgn} {\overline {f}})\Delta f\right)\quad$ in $\;{\mathcal {D}}'(\{f\neq 0\})$.

Literatur

• Haı̈m Brezis und Augusto Ponce: Kato's inequality when $\Delta u$ is a measure. In: Comptes Rendus de l'Academie des Sciences - Series I: Mathematics. Band 338, 2004, S. 599–604, doi:10.1016/j.crma.2003.12.032. 
• W. Arendt und A.F.M. ter Elst: Kato’s Inequality. Hrsg.: Springer (= Analysis and Operator Theory. Springer Optimization and Its Applications. Band 146). Cham 2019, doi:10.1007/978-3-030-12661-2_3.