Kettenwurzel

Eine Kettenwurzel ist ein Ausdruck der Form

$\left(\left(\left(p_{1}^{a}+p_{2}\right)^{a}+p_{3}\right)^{a}+p_{4}\right)^{a}+\dotsb$,

wobei $0<a<1$ und $\left(p_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge positiver reeller Zahlen ist.

Aus einer so definierten Kettenwurzel lässt sich die Kettenwurzel-Folge $\left(P_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ mit

$P_{1}=p_{1}^{a}$,

$P_{2}=\left(p_{1}^{a}+p_{2}\right)^{a}$,

$P_{3}=\left(\left(p_{1}^{a}+p_{2}\right)^{a}+p_{3}\right)^{a}$,

$P_{4}=\left(\left(\left(p_{1}^{a}+p_{2}\right)^{a}+p_{3}\right)^{a}+p_{4}\right)^{a}$, …

bilden.

Beispiele quadratischer Kettenwurzeln

Ist $a={\frac {1}{2}}$, so sind $p_{n}^{a}$ Quadratwurzeln ($n\in \mathbb {N}$).

• Für $p_{n}=1$ ist

${\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dotsb }}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi$

der Goldene Schnitt.

• Für $p_{n}=2$ gilt

${\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dotsb }}}}}}}}=2$.

• Näherungsweise gilt:

Mit $p_{n}=n$:

${\sqrt {1+{\sqrt {2+{\sqrt {3+{\sqrt {4+\dotsb }}}}}}}}\approx 1{,}757932757$

Mit $p_{n}=n^{n}$:

${\sqrt {1+{\sqrt {4+{\sqrt {27+{\sqrt {256+\dotsb }}}}}}}}\approx 2{,}066176687$

Mit $p_{n}=n!^{n}$:

${\sqrt {1+{\sqrt {4+{\sqrt {216+{\sqrt {331776+\dotsb }}}}}}}}\approx 2{,}618086580$

Dieses letzte Beispiel verdeutlicht in besonderer Weise, dass trotz einer rapide anwachsenden Folge $\left(p_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörige Kettenwurzel einen endlichen Wert annehmen kann.

Konvergenzkriterium

Gegeben sei eine Kettenwurzel-Folge $\left(P_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ mit der zugrunde liegenden Kettenwurzel $\left(\left(\left(p_{1}^{a}+p_{2}\right)^{a}+p_{3}\right)^{a}+p_{4}\right)^{a}+\dotsb$ und der Folge $\left(p_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ positiver reeller Zahlen ($n\in \mathbb {N}$).

Dann konvergiert $\left(P_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann, wenn es eine reelle Zahl $C$ gibt mit

$a^{n}\log p_{n}\leq C$.

Alle Kettenwurzel-Folgen in den obigen Beispielen sind nach diesem Kriterium konvergent.

Konvergenz bei konstanten zugrundeliegenden Folgen

Grenzwerte bei speziellen konstanten Folgen

Konvergenzvergleich der Kettenwurzel-Folgen nach dem Konvergenzkriterium für verschiedene Folgen $\left(p_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

Da in den ersten beiden Beispielen die Folge $\left(p_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ jeweils konstante Glieder $p_{n}=p$ hat, tritt für beliebiges $n\in \mathbb {N}$ jeder Rest-Abschnitt der betreffenden Kettenwurzel als Grenzwert $x>0$ von $\left(P_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ auf. Somit lässt sich $x$ jeweils folgendermaßen bestimmen, wobei stets nur die positive Lösung infrage kommt:

Im ersten Beispiel:

$x={\sqrt {1+x}}\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}=1+x\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}-x-1=0\quad \Leftrightarrow \quad x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi$

Im zweiten Beispiel:

$x={\sqrt {2+x}}\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}=2+x\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}-x-2=0\quad \Leftrightarrow \quad x=2$

Grenzwerte bei allgemeinen konstanten Folgen

Ersetzt man in den ersten beiden Beispielen allgemein die Zahlen $1$ bzw. $2$ durch $p\in \mathbb {N}$, so ergibt sich analog:

$x={\sqrt {p+x}}\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}=p+x\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}-x-p=0\quad \Leftrightarrow \quad x={\frac {1+{\sqrt {4p+1}}}{2}}$

Für $p=6$ ist beispielsweise $x=3$ der nächste ganzzahlige Grenzwert.

Literatur

• Pierre Collet, Jean-Pierre Eckmann: Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems Birkhäuser Verlag, Basel 1986
• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen, Band 2, dritte Auflage, Stuttgart 1957, Seite 46
• Walter S. Sizer: Continued roots Mathematics Magazine 59, 23–27 (1986), https://doi.org/10.1080/0025570X.1986.11977215

Weblinks

• Peter Kubach: Kettenwurzel und Kettenbruch aus kubach-mathe.de, abgerufen am 3. Mai 2023
• Hans Walser: Kettenwurzeln aus walser-h-m.ch, abgerufen am 3. Mai 2023