Khovanov-Homologie

In der Mathematik ist die Khovanov-Homologie eine Knoteninvariante, die das Jones-Polynom „kategorifiziert“: sie ist eine Homologietheorie, deren gradierte Euler-Charakteristik das Jones-Polynom ergibt.

Konstruktion

Die Khovanov-Homologie soll eine Invariante von orientierten Knoten und Verschlingungen sein. Man ordnet zunächst einem Diagramm einen gradierten Kettenkomplex zu (die „Khovanov-Klammer“) und definiert dann die Khovanov-Homologie als die gradierte Homologie dieses Komplexes.

Die Khovanov-Klammer $\left[L\right]$ von Diagrammen $L$ wird durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt

Die Khovanov-Klammer der leeren Menge ist der Komplex $0\to \mathbb {Z} \to 0$ .
$\left[\bigcirc \sqcup L\right]=V\otimes \left[L\right]$ .
Wenn Diagramme dreier Verschlingungen $L_{-1},L_{0},L_{1}$ sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann ist $\left[L_{0}\right]={\mathcal {F}}(0\to L_{1}\to L_{-1}\left\{1\right\}\to 0)$ .

Dabei ist $V$ ein gradierter Vektorraum mit Erzeugern $q$ und $q^{-1}$ in Graden $1$ und $-1$ , $\left\{1\right\}$ steht für Gradverschiebung um $1$ , und ${\mathcal {F}}$ macht aus einem Doppelkomplex einen Komplex durch bilden direkter Summen entlang Diagonalen.


$L_{-1}$	$L_{0}$	$L_{1}$

Die Khovanov-Homologie $L$ ist dann definiert als Homologie von $\left[L\right]\left[-n_{-}\right]\left\{n_{+}-2n_{-}\right\}$ , wobei $n_{\pm }$ für die Anzahl der positiven und negativen Überkreuzungen des Diagramms steht, $\left[.\right]$ für die Gradverschiebung im Kettenkomplex und $\left\{.\right\}$ wieder für die Gradverschiebung im gradierten Vektorraum steht.

Khovanov-Homologie ist eine Invariante von Verschlingungen: unterschiedliche Diagramme einer Verschlingung geben dieselbe Khovanov-Homologie.

Eigenschaften

Khovanov-Homologie ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Verschlingungen und Linkkobordismen in die Kategorie der Vektorräume und Vektorraumhomomorphismen über dem Körper $F_{2}$ .

Khovanov-Homologie einer Verschlingung $L$ ist ein $F_{2}$ -Vektorraum $Kh(L)$ mit folgenden Eigenschaften:

Isotope Verschlingungen haben isomorphe Khovanov-Homologie.
Für die disjunkte Vereinigung von Verschlingungen gilt $Kh(L_{1}\sqcup L_{2})=Kh(L_{1})\otimes Kh(L_{2})$ , insbesondere ist die Khovanov-Homologie der leeren Menge isomorph zu $F_{2}$ ..
Die Khovanov-Homologie des Unknotens ist $F_{2}\oplus F_{2}$ .
Wenn Diagramme dreier Verschlingungen $L_{-1},L_{0},L_{1}$ sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann gibt es ein exaktes Dreieck $Kh(L_{-1})\to Kh(L_{0})\to Kh(L_{1})\to Kh(L_{-1})$ .


$L_{-1}$	$L_{0}$	$L_{1}$

Khovanov-Homologie hat eine Bigradierung

Kh(L)=\bigoplus _{i,j\in \mathbb {Z} }Kh^{i,j}(L)

,

so dass

ein Linkkobordismus $\Sigma \colon L_{1}\to L_{2}$ eine Abbildung $Kh(\Sigma )\colon K(L_{1})\to K(L_{2})$ vom Bigrad $(0,\chi (\Sigma ))$ induziert,
der Erzeuger von $Kh(\emptyset )$ den Bigrad $(0,0)$ und die Erzeuger von $Kh(Unknoten)$ den Bigrad $(1,0)$ und $(0,1)$ haben,
das exakte Dreieck gibt im Fall einer negativen Überkreuzung eine lange exakte Sequenz

\ldots \to Kh^{i,j+1}(L_{-1})\to Kh^{i,j}(L_{0})\to Kh^{i-\omega ,j-1-3\omega }(L_{1})\to Kh^{i+1,j+1}(L_{-1})\to \ldots

wobei

\omega

die Anzahl der negativen Überkreuzungen von

L_{1}

minus die Anzahl der negativen Überkreuzungen von

L_{0}

ist, und im Fall einer positiven Überkreuzung eine lange exakte Sequenz

\ldots \to Kh^{i-1,j-1}(L_{-1})\to Kh^{i-1-c,j-2-3c}(L_{1})\to Kh^{i,j}(L_{0})\to Kh^{i,j-1}(L_{1})\to \ldots

wobei

c

die Anzahl der negativen Überkreuzungen von

L_{1}

minus die Anzahl der Überkreuzungen von

L_{0}

ist.


Positive Überkreuzung	Negative Überkreuzung