Khovanov-Homologie
In der Mathematik ist die Khovanov-Homologie eine Knoteninvariante, die das Jones-Polynom „kategorifiziert“: sie ist eine Homologietheorie, deren gradierte Euler-Charakteristik das Jones-Polynom ergibt.
Konstruktion
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Khovanov-Homologie soll eine Invariante von orientierten Knoten und Verschlingungen sein. Man ordnet zunächst einem Diagramm einen gradierten Kettenkomplex zu (die „Khovanov-Klammer“) und definiert dann die Khovanov-Homologie als die gradierte Homologie dieses Komplexes.
Die Khovanov-Klammer von Diagrammen wird durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt
- Die Khovanov-Klammer der leeren Menge ist der Komplex .
- .
- Wenn Diagramme dreier Verschlingungen sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann ist .
Dabei ist ein gradierter Vektorraum mit Erzeugern und in Graden und , steht für Gradverschiebung um , und macht aus einem Doppelkomplex einen Komplex durch bilden direkter Summen entlang Diagonalen.
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Die Khovanov-Homologie ist dann definiert als Homologie von , wobei für die Anzahl der positiven und negativen Überkreuzungen des Diagramms steht, für die Gradverschiebung im Kettenkomplex und wieder für die Gradverschiebung im gradierten Vektorraum steht.
Khovanov-Homologie ist eine Invariante von Verschlingungen: unterschiedliche Diagramme einer Verschlingung geben dieselbe Khovanov-Homologie.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Khovanov-Homologie ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Verschlingungen und Linkkobordismen in die Kategorie der Vektorräume und Vektorraumhomomorphismen über dem Körper .
Khovanov-Homologie einer Verschlingung ist ein -Vektorraum mit folgenden Eigenschaften:
- Isotope Verschlingungen haben isomorphe Khovanov-Homologie.
- Für die disjunkte Vereinigung von Verschlingungen gilt , insbesondere ist die Khovanov-Homologie der leeren Menge isomorph zu ..
- Die Khovanov-Homologie des Unknotens ist .
- Wenn Diagramme dreier Verschlingungen sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann gibt es ein exaktes Dreieck .
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Khovanov-Homologie hat eine Bigradierung
- ,
so dass
- ein Linkkobordismus eine Abbildung vom Bigrad induziert,
- der Erzeuger von den Bigrad und die Erzeuger von den Bigrad und haben,
- das exakte Dreieck gibt im Fall einer negativen Überkreuzung eine lange exakte Sequenz
- wobei die Anzahl der negativen Überkreuzungen von minus die Anzahl der negativen Überkreuzungen von ist, und im Fall einer positiven Überkreuzung eine lange exakte Sequenz
- wobei die Anzahl der negativen Überkreuzungen von minus die Anzahl der Überkreuzungen von ist.
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Positive Überkreuzung |
Negative Überkreuzung |
Khovanov-Homologie als Kategorifizierung des Jones-Polynoms
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für eine orientierte Verschlingung ist die gradierte Euler-Charakteristik
das Jones-Polynom von .
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- M. Khovanov: A categorification of the Jones polynomial, Duke Mathematical Journal, 101 (3): 359–426, 2000.
- Dror Bar-Natan: On Khovanov's categorification of the Jones polynomial, Algebraic & Geometric Topology, 2: 337–370, 2002.
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Khovanov homology (Knot Atlas)