Knotenüberdeckung

Eine Knotenüberdeckung bezeichnet in der Graphentheorie eine Teilmenge der Knotenmenge eines Graphen, die von jeder Kante mindestens einen Endknoten enthält. Das Finden von kleinsten Knotenüberdeckungen gilt als algorithmisch schwierig, denn das damit eng verwandte Knotenüberdeckungsproblem ist NP-vollständig.

Definitionen

Zwei (nichtminimale) Knotenüberdeckungen.

Zwei minimale Knotenüberdeckungen.

Sei $G=(V,E)$ ein ungerichteter Graph mit der Knotenmenge $V$ und der Kantenmenge $E$. Dann ist eine Teilmenge $U\subseteq V$ eine Knotenüberdeckung (englisch Vertex Cover) von $G$, wenn jede Kante von $G$ wenigstens einen Knoten aus $U$ enthält. Entsprechend dazu ist eine Kantenüberdeckung des Graphen eine Teilmenge $M$ seiner Kantenmenge, so dass jeder Knoten in mindestens einer Kante aus $M$ enthalten ist.

Eine Knotenüberdeckung $U$ von $G$ nennt man minimal, wenn es keinen Knoten $v\in U$ gibt, so dass $U$ ohne $v$ immer noch eine Knotenüberdeckung ist. Gibt es in $G$ keine Knotenüberdeckung, die weniger Elemente als $U$ enthält, so nennt man $U$ eine kleinste Knotenüberdeckung. Die Anzahl der Knoten einer kleinsten Knotenüberdeckung von $G$ nennt man Knotenüberdeckungszahl von $G$.

Gerichtete Graphen oder solche mit Mehrfachkanten sind nicht Gegenstand derartiger Betrachtungen, da es nicht auf die Richtung oder Vielfachheit der Kanten ankommt.

Wichtige Aussagen und Sätze

1. Die Knotenüberdeckungszahl eines Graphen ist mindestens so groß wie seine Paarungszahl, da die Knoten der Kanten einer größten Paarung nur zu einer Paarungskante inzident sein können.
2. Andererseits kann die Knotenüberdeckungszahl höchstens doppelt so groß sein wie die Paarungszahl, da die Knoten aller Paarungskanten eine gültige Knotenüberdeckung ergeben.
3. In bipartiten Graphen stimmen Knotenüberdeckungszahl und Paarungszahl überein. (Satz von König)

Probleme und Komplexität

Das Entscheidungsproblem zu einem Graphen $G$ und einer natürlichen Zahl $k$ zu entscheiden, ob $G$ eine Knotenüberdeckung der Größe höchstens $k$ enthält, wird Knotenüberdeckungsproblem genannt. Das zugehörige Optimierungsproblem fragt nach der Knotenüberdeckungszahl eines Graphen. Das zugehörige Suchproblem fragt nach einer kleinsten Knotenüberdeckung.

Nachweis der NP-Schwere

Das Knotenüberdeckungsproblem ist NP-vollständig, das zugehörige Optimierungs- und Suchproblem ist NP-äquivalent. Die NP-Schwere des Knotenüberdeckungsproblems folgt aus dem Satz, dass die Stabilitätszahl eines Graphen immer der Anzahl Knoten eines Graphen abzüglich seiner Knotenüberdeckungszahl entspricht, denn das Komplement einer kleinsten Knotenüberdeckung ist immer eine größte stabile Menge und umgekehrt. Das Knotenüberdeckungsproblem gehört zur Liste der 21 klassischen NP-vollständigen Probleme, von denen Richard Karp 1972 die Zugehörigkeit zu dieser Klasse zeigen konnte.

In Polynomialzeit lösbare Fälle

Der ungarische Mathematiker Dénes Kőnig konnte schon 1931 zeigen, dass in bipartiten Graphen die Knotenüberdeckungszahl der Paarungszahl entspricht (Satz von König). Für das Problem, eine größte Paarung zu finden, gibt es aber einen polynomiellen Algorithmus. In bipartiten Graphen lässt sich daher auch eine kleinste Knotenüberdeckung und eine größte stabile Menge in polynomieller Zeit berechnen. Tatsächlich gilt sogar etwas stärker, dass die Knotenüberdeckungszahl in perfekten Graphen in polynomieller Zeit berechnet werden kann.

Approximation einer Knotenüberdeckung

Es existiert ein Approximationsalgorithmus, der eine Knotenüberdeckung mit relativer Güte 2 berechnet. Es ist kein besserer Algorithmus mit fester Güte bekannt.

Der Algorithmus berechnet eine nicht-erweiterbare Paarung $M$ in $G$. Da eine derartige Paarung immer eine Knotenüberdeckung darstellt und höchstens doppelt so groß ist wie eine minimale Knotenüberdeckung, berechnet der Algorithmus eine Knotenüberdeckung mit relativer Güte 2.

$G=(V,E)$: Graph

approx_vertex_cover($G$)
1   $K\leftarrow \varnothing$
2  solange  $E\neq \varnothing$:
3      wähle eine beliebige Kante $e={u,v}\in E$
4      $K\leftarrow K\cup \left\{u,v\right\}$
5      entferne alle Kanten aus $E$, die inzident zu $u$ oder $v$ sind
6  return $K$

Der Algorithmus hat bei einer geeigneten Datenstruktur eine Laufzeit von $O(|E|)$.

Weblinks

Wikiversity: Eine Vorlesung über Knotenüberdeckungen im Rahmen eines Kurses zur diskreten Mathematik – Kursmaterialien

Literatur

• Reinhard Diestel: Graphentheorie. 4. Auflage. Springer, Berlin 2010, ISBN 978-3-642-14911-5 (diestel-graph-theory.com). 
• Bernhard Korte, Jens Vygen: Kombinatorische Optimierung. Theorie und Algorithmen (= Springer Spektrum). 2. Auflage. Springer, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-25400-0. 

Karps 21 NP-vollständige Probleme

Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik | Cliquenproblem | Mengenpackungsproblem | Knotenüberdeckungsproblem | Mengenüberdeckungsproblem | Feedback Arc Set | Feedback Vertex Set | Hamiltonkreisproblem | Integer Linear Programming | 3-SAT | graph coloring problem | Covering by cliques | Problem der exakten Überdeckung | 3-dimensional matching | Steinerbaumproblem | Hitting set | Rucksackproblem | Job sequencing | Partitionsproblem | Maximaler Schnitt