In der Mathematik ist Kohomologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe eine Verallgemeinerung der klassischen Kohomologietheorien.
Sei
ein Kettenkomplex und eine abelsche Gruppe. Als Kohomologie mit Koeffizienten in bezeichnet man die Homologie des Kokettenkomplexes
- .
Für erhält man die Kohomologie des Kettenkomplexes.
Für einen topologischen Raum bezeichnet man mit die Kohomologie des singulären Kettenkomplexes mit Koeffizienten in . Für erhält man die singuläre Kohomologie.
Für einen Simplizialkomplex bezeichnet man mit die Kohomologie des simplizialen Kettenkomplexes mit Koeffizienten in . Für erhält man die simpliziale Kohomologie.
Sei der Kettenkomplex
- ,
wobei die mittlere Abbildung und alle anderen Abbildungen konstant seien. Die Homologiegruppen sind
- .
Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in sind
- .
Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in sind
- .
Die Kohomologie mit Koeffizienten kann aus der klassischen Homologie mit Hilfe des universellen Koeffizientensatzes, nach dem
eine kurze exakte Folge ist, berechnet werden.