Konischer Grenzpunkt

In der Mathematik, spezieller in der Theorie der Kleinschen Gruppen, werden gewisse Grenzpunkte als konische Grenzpunkte bezeichnet.

Sei $\Gamma$ eine Kleinsche Gruppe, d. h. eine diskrete Gruppe von Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes $\mathbb {H} ^{3}$.

Die Limesmenge oder Grenzmenge $\Lambda (\Gamma )$ einer Kleinschen Gruppe $\Gamma$ ist eine Teilmenge der riemannschen Zahlenkugel, definiert als der Durchschnitt des Randes im Unendlichen $\partial _{\infty }\mathbb {H} ^{3}$ mit dem Abschluss einer Bahn $\Gamma x$ wobei $x$ ein Punkt des hyperbolischen Raumes ist. Diese Definition ist unabhängig vom gewählten Punkt $x$ und die Punkte der Limesmenge heißen Grenzpunkte von $\Gamma$. Die Grenzpunkte sind also Häufungspunkte von $\Gamma x$ in $\mathbb {H} ^{3}\cup \partial _{\infty }\mathbb {H} ^{3}$.

Ein Grenzpunkt $\xi \in \Lambda (\Gamma )$ heißt konischer Grenzpunkt, wenn es eine in $\xi$ endende Geodäte $l\subset \mathbb {H} ^{3}$ und ein $A>0$ gibt, so dass $\xi$ ein Häufungspunkt von $\Gamma x\cap N_{A}(l)$ ist, wobei $N_{A}(l)$ die $A$-Umgebung von $l$ bezeichnet. Die Definition ist unabhängig von der Wahl von $x$ und $l$.

Die Menge der konischen Grenzpunkte wird als konische Limesmenge $\Lambda _{c}(\Gamma )$ bezeichnet. Sie ist eine $\Gamma$-invariante messbare Menge.

Jeder Fixpunkt einer loxodromischen Isometrie ist ein konischer Grenzpunkt. Konische Grenzpunkte sind insbesondere horosphärische Grenzpunkte, d.h., jede Horosphäre um den Grenzpunkt hat nichtleeren Durchschnitt mit $\Gamma x$.

Nach dem Satz von Beardon-Maskit ist eine Kleinsche Gruppe genau dann geometrisch endlich, wenn jeder Grenzpunkt entweder ein konischer Grenzpunkt oder ein parabolischer Fixpunkt (Fixpunkt einer parabolischen Isometrie) ist.

Literatur

• K. Matsuzaki, M. Taniguchi: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press. ix, 253 p. (1998).