Algebraisch konjugiert nennt man Elemente eines Körpers , wenn sie bezüglich eines Unterkörpers dasselbe Minimalpolynom haben.
Seien
L
/
K
{\displaystyle L/K}
eine Körpererweiterung und
K
[
x
]
{\displaystyle K[x]}
der Polynomring zu
K
{\displaystyle K}
mit der Unbestimmten
x
{\displaystyle x}
. Die Elemente
a
,
b
∈
L
{\displaystyle a,b\in L}
seien algebraisch über
K
{\displaystyle K}
, das heißt, es existieren
0
≠
q
(
x
)
,
p
(
x
)
∈
K
[
x
]
{\displaystyle 0\neq q(x),p(x)\in K[x]}
mit
p
(
a
)
=
q
(
b
)
=
0
{\displaystyle p(a)=q(b)=0}
.
Dann heißen
a
{\displaystyle a}
und
b
{\displaystyle b}
algebraisch konjugiert über
K
{\displaystyle K}
, wenn
a
{\displaystyle a}
und
b
{\displaystyle b}
dasselbe Minimalpolynom über
K
{\displaystyle K}
haben.
Ist der Zusammenhang klar, spricht man auch kürzer nur von „konjugiert“.
a
{\displaystyle a}
und
b
{\displaystyle b}
sind genau dann konjugiert über dem Körper
K
{\displaystyle K}
, wenn für alle
p
(
x
)
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p(x)\in K[x]}
gilt, dass
p
(
a
)
=
0
⇔
p
(
b
)
=
0
{\displaystyle p(a)=0\Leftrightarrow p(b)=0}
.
Sei
L
/
K
{\displaystyle L/K}
eine endliche Körpererweiterung mit
L
=
K
(
b
)
{\displaystyle L=K(b)}
für ein
b
∈
L
∖
K
{\displaystyle b\in L\setminus K}
. Dann sind
a
,
b
∈
L
{\displaystyle a,b\in L}
genau dann konjugiert über dem Körper
K
{\displaystyle K}
, wenn es ein Element
φ
{\displaystyle \varphi }
in der Galoisgruppe
G
a
l
(
L
/
K
)
{\displaystyle \mathrm {Gal} (L/K)}
gibt mit
φ
(
a
)
=
b
{\displaystyle \varphi (a)=b}
.
Die komplexen Zahlen
i
{\displaystyle i}
und
−
i
{\displaystyle -i}
haben über
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
beide das Minimalpolynom
x
2
+
1
{\displaystyle \textstyle x^{2}+1}
und sind daher algebraisch konjugiert über
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
. Über
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
haben sie natürlich die Minimalpolynome
x
−
i
{\displaystyle x-i}
bzw.
x
+
i
{\displaystyle x+i}
und sind nicht konjugiert.
Allgemeiner gilt: Zwei komplexe Zahlen
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
und
c
+
d
i
{\displaystyle c+di}
mit
b
,
d
≠
0
{\displaystyle b,d\neq 0}
sind genau dann algebraisch konjugiert über
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, wenn sie durch komplexe Konjugation auseinander hervorgehen, also
a
=
c
,
b
=
−
d
{\displaystyle a=c,b=-d}
gilt. Das gemeinsame Minimalpolynom ist in diesem Fall
x
2
−
2
a
x
+
a
2
+
b
2
{\displaystyle x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}}
.
Die Goldene Zahl
Φ
{\displaystyle \Phi }
und ihr negativer Kehrwert sind konjugiert über dem Körper
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
. Sie sind Lösungen des Minimalpolynoms
x
2
−
x
−
1
{\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1}
.
Die zu
x
1
=
2
+
3
{\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}
algebraisch Konjugierten erhält man wie folgt: Aus
x
1
2
=
5
+
2
6
{\displaystyle x_{1}^{2}=5+2{\sqrt {6}}}
,
x
1
3
=
11
2
+
9
3
{\displaystyle \quad x_{1}^{3}=11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\quad }
und
x
1
4
=
49
+
20
6
{\displaystyle \quad x_{1}^{4}=49+20{\sqrt {6}}}
ergibt sich das Minimalpolynom
x
4
−
10
x
2
+
1
=
(
x
2
−
5
)
2
−
24
{\displaystyle x^{4}-10x^{2}+1=\left(x^{2}-5\right)^{2}-24}
.
Durch zweifaches Wurzelziehen erhält man, zusammen mit der Beziehung
5
±
2
6
=
(
2
±
3
)
2
{\displaystyle 5\pm 2{\sqrt {6}}=({\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}})^{2}}
, die weiteren Nullstellen:
x
2
=
2
−
3
{\displaystyle x_{2}={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}
,
x
3
=
−
2
+
3
{\displaystyle \quad x_{3}=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}
,
x
4
=
−
2
−
3
{\displaystyle \quad x_{4}=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}
.
Chr. Karpfinger, K. Meyberg: Algebra. Gruppe – Ringe – Körper . Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-54721-2 .