Zusammenziehbarer Raum
Zusammenziehbare Räume – auch als kontrahierbare bzw. kontraktible Räume bezeichnet – werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Aus Sicht der Homotopietheorie gelten zusammenziehbare Räume als trivial. Viele in der Algebraischen Topologie definierte Invarianten verschwinden für zusammenziehbare Räume.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein topologischer Raum heißt zusammenziehbar oder kontrahierbar oder kontraktibel, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Unterraum ist, das heißt, wenn es eine stetige Abbildung
und einen festen Punkt gibt, sodass
- für alle und
- für alle
gilt.[1]
Beispiel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Der euklidische Raum ist zusammenziehbar: Setze
- für und .
- Man beachte, dass der Raum nicht im anschaulichen Sinne „stetig zu einem Punkt deformiert wird“: Das Bild der Abbildung
- ist für stets der gesamte Raum, erst für ist das Bild nur noch der Ursprung.
- Allgemeiner sind sternförmige Mengen zusammenziehbar.
Schwach zusammenziehbare Räume
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein topologischer Raum heißt schwach kontrahierbar oder schwach zusammenziehbar, wenn für alle die Homotopiegruppen trivial sind, d. h.
- und für alle .
Wenn ein Raum zusammenziehbar ist, dann ist er auch schwach zusammenziehbar.
Für CW-Komplexe gilt auch die Umkehrung: Aus und für alle folgt, dass der CW-Komplex zusammenziehbar ist. Für beliebige topologische Räume gilt die Umkehrung i. A. nicht.
Weitere Resultate
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es liegen die folgenden Resultate vor:
- Eine nichtleere konvexe Teilmenge des euklidischen Raums ist stets zusammenziehbar.[2]
- Jeder zusammenziehbare Raum ist wegzusammenhängend.[3][4]
- Jeder Retrakt eines zusammenziehbaren Raums ist zusammenziehbar.[4]
- Ein nichtleeres topologisches Produkt von nichtleeren zusammenziehbaren Räumen ist stets zusammenziehbar.[5][6] (Vererbungssatz[5])
Gegenbeispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Die Einheitssphäre (oder allgemeiner: eine entsprechende Sphäre mit festem Radius) ist nicht zusammenziehbar, obwohl sie für einfach zusammenhängend ist.
- Der Raum, den man als Vereinigung von
- mit einem (0,-1) und (1,sin(1)) verbindenden Kreisbogen erhält, ist nicht zusammenziehbar, obwohl alle seine Homotopiegruppen trivial sind.
- Dies zeigt, dass der Satz von Whitehead für topologische Räume, die kein CW-Komplex sind, im Allgemeinen nicht gelten muss.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X, S. 110 ff. (MR2172813).
- Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, S. 156 ff. (MR0423277).
- Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA (u. a.) 1970, S. 224 ff. (MR0264581).
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1st corrected Springer edition, Reprint. Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0, S. 25.
- ↑ Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 224
- ↑ Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 112
- ↑ a b Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 226
- ↑ a b Thorsten Camps et al., op. cit., S. 111
- ↑ Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 162