Kosymplektische Mannigfaltigkeit

In der Mathematik sind kosymplektische Mannigfaltigkeiten ein Begriff aus der Differentialgeometrie, der als ungerade-dimensionales Analog von Kähler-Mannigfaltigkeiten angesehen wird. Lokal sind sie das Produkt einer Kähler-Mannigfaltigkeit mit der reellen Gerade $\mathbb {R}$.

Definition

Eine kosymplektische Mannigfaltigkeit $(M,J,\xi ,\alpha ,g)$ ist eine kompakte normale metrische Fast-Kontaktmannigfaltigkeit mit

$d\alpha =0$ und $d\omega =0$

für die 2-Form $\omega (.,.)=g(J.,.)$.

Das Paar $(Kern(\alpha ),\omega )$ definiert eine Kähler-Riemannsche Blätterung.

Beispiele

• Produkte von Kähler-Mannigfaltigkeiten mit $1$-dimensionalen Mannigfaltigkeiten
• Produkte ungerade-dimensionaler Tori mit komplex-projektiven Räumen

Eigenschaften

Die Betti-Zahlen kosymplektischer $(2n+1)-$Mannigfaltigkeiten erfüllen die Bedingungen

• $b_{i}(M)\not =0$ für $0\leq i\leq 2n+1$
• $b_{0}(M)\leq b_{1}(M)\leq \ldots \leq b_{n}(M)=b_{n+1}(M)$
• $b_{n+1}(M)\leq b_{n+2}(M)\geq \ldots \geq b_{2n+1}(M).$

Kosymplektische Mannigfaltigkeiten sind formal.

Literatur

• A. Fino, L. Vezzoni: Some results on cosymplectic manifolds. Geom. Dedicata 151, 41-58 (2011).